У теорији бројева, просте омега функције и броје просте факторе природног броја Број различитих простих фактора додељује се функцији (мала омега), док (велика омега) броји укупан број простих фактора са вишеструкошћу (погледати аритметичка функција). То јест, ако имамо просту факторизацију броја у облику за различите просте бројеве (), онда су просте омега функције дате са и . Ове функције за бројање простих фактора имају многе важне релације у теорији бројева.
Особине и релације
Функција је адитивна, а је потпуно адитивна. Мала омега има формулу
где нотација означава да се сума узима преко свих простих бројева који деле , без вишеструкости. На пример, .
Велика омега има формуле
Нотација означава да се сума узима преко свих степена простих бројева који деле , док означава да се сума узима преко свих степена простих бројева који деле тако да је узајамно прост са . На пример, .
Омега функције су повезане неједнакостима и , где је функција броја делитеља.Ова неједнакост је дата у одељку 22.13 Хардија и Рајта. Ако је , онда је безквадратни број и повезан је са Мебијусовом функцијом преко
Ако је , онда је степен простог броја, а ако је , онда је прост број.
Асимптотски ред за просечан ред функције је S. R. Finch, Two asymptotic series, Mathematical Constants II, Cambridge University Press, pp. 21-32,
где је Мертенсова константа, а су Стилтјесове константе.
Функција је повезана са сумама делитеља преко Мебијусове функције и делитељске функције, укључујући:Сваки од ових идентитета, почевши од другог на листи, цитиран је појединачно на страницама Дирихлеове конволуције аритметичких функција, Менонов идентитет и друге формуле за Ојлерову фи функцију. Први идентитет је комбинација две познате суме делитеља цитиране у одељку 27.6 NIST приручника за математичке функције.
је број унитарних делитеља.
Карактеристична функција простих бројева може се изразити конволуцијом са Мебијусовом функцијом:Ово је предложено као вежба у Апостоловој књизи. Наиме, пишемо где је . Можемо формирати Дирихлеов ред над као где је проста зета-функција. Тада постаје очигледно да је индикаторска функција простих бројева.
Тачан идентитет за повезан са партицијама дат је са Овај идентитет је доказан у чланку Шмита који је цитиран на овој страници испод.
где је партициона функција, је Мебијусова функција, а троугаони низ се проширује као
у терминима бесконачног q-Покхамеровог симбола и ограничених партиционих функција које респективно означавају број појављивања броја у свим партицијама броја на непаран (паран) број различитих делова.Овај троугаони низ се такође истакнуто појављује у теоремама факторизације Ламбертових редова које су доказали Мерка и Шмит (2017–2018)
Наставак на комплексну раван Пронађен је наставак функције , иако није аналитичан свуда. Имајте на уму да се користи нормализована функција .
Ово је блиско повезано са следећим партиционим идентитетом. Размотримо партиције облика
где су , , и позитивни цели бројеви, и . Број партиција је тада дат са .
Просечан ред и суматорне функције
Просечан ред и функције и је . Када је прост број, доња граница вредности функције је . Слично томе, ако је приморијал, функција је велика као
у просечном реду. Када је степен двојке, онда је За референце на сваку од ових процена просечног реда, погледајте једначине (3) и (18) у MathWorld референци и одељке 22.10-22.11 у књизи Хардија и Рајта.
Асимптотике за суматорне функције над , , и степенима су респективноПогледајте одељке 22.10 и 22.11 за референце и експлицитна извођења ових асимптотских процена.Заправо, доказ последњег резултата дат у Хардију и Рајту сугерише општију процедуру за извлачење асимптотских процена момената за било које разматрањем суматорних функција факторијелских момената облика за општије случајеве .
где је Мертенсова константа, а константа је дефинисана са
Сума броја унитарних делитеља је
Друге суме које повезују две варијанте простих омега функција укључују Харди и Рајт, поглавље 22.11.
и
Пример I: Модификована суматорна функција
У овом примеру предлажемо варијанту суматорних функција процењених у горенаведеним резултатима за довољно велико . Затим доказујемо асимптотску формулу за раст ове модификоване суматорне функције изведену из асимптотске процене дате у формулама у главном под-одељку овог чланка.Напомена: ова сума је предложена радом садржаним у необјављеном рукопису доприносиоца ове странице у вези са растом Мертенсове функције. Стога, то није само празна и/или тривијална процена добијена у сврху излагања овде.
Да будемо потпуно прецизни, нека је суматорна функција са непарним индексима дефинисана као
где означава Ајверсонову заграду. Тада имамо да је
Доказ овог резултата следи прво из запажања да
а затим применом асимптотског резултата из Хардија и Рајта за суматорну функцију над , означену са , у следећем облику:
Пример II: Суматорне функције за факторијелске моменте функције ω(n)
Прорачуни проширени у поглављу 22.11 Хардија и Рајта дају асимптотске процене за суматорну функцију
процењујући производ ове две компонентне омега функције као
Слично можемо израчунати асимптотске формуле у општијем случају за повезане суматорне функције над такозваним факторијелским моментима функције . Дирихлеови редови
Познат Дирихлеов ред који укључује и Риманову зета-функцију дат је саОвај идентитет се налази у одељку 27.4 NIST приручника за математичке функције.
Такође можемо видети да је
Функција је потпуно адитивна, док је строго адитивна (адитивна). Сада можемо доказати кратку лему у следећем облику, која имплицира тачне формуле за развоје Дирихлеових редова над и :
Лема. Претпоставимо да је строго адитивна аритметичка функција дефинисана тако да су њене вредности на степенима простих бројева дате са , тј. за различите просте бројеве и експоненте . Дирихлеов ред функције се развија као
Доказ. Можемо видети да је
Ово имплицира да је
где год одговарајући редови и производи конвергирају. У последњој једначини, користили смо Ојлеров производ за Риманову зета-функцију.
Лема имплицира да за ,
где је проста зета-функција, где је -ти хармонијски број, а је идентитет за Дирихлеову конволуцију, .
Расподела разлике простих омега функција
Расподела различитих целобројних вредности разлика је регуларна у поређењу са полу-случајним својствима компонентних функција. За , дефинишимо
Ове кардиналности имају одговарајући низ граничних густина тако да за
Ове густине су генерисане производима над простим бројевима
Са апсолутном константом , густине задовољавају
Упоредити са дефиницијом производа над простим бројевима дефинисаном у последњем одељку у вези са Ердеш-Кацовом теоремом.
Види још
Адитивна функција Аритметичка функција Ердеш-Кацова теорема Омега функција (вишезначна одредница) Прост број Безквадратни цео број
Напомене
Референце
Спољашње везе OEIS Wiki за повезане бројеве низова и табеле OEIS Wiki о простим факторима
Категорија:Теорија бројева Категорија:Прости бројеви Категорија:Адитивне функције Категорија:Целобројни низови