Музика и математика

thumb|upright=1.5|Спектрограм таласног облика виолине, са линеарном фреквенцијом на вертикалној оси и временом на хоризонталној оси. Светле линије показују како се спектралне компоненте мењају током времена. Интензитет бојења је логаритамски (црна је −120 dBFS).

Теорија музике анализира висину, тајминг и структуру музике. Користи математику за проучавање елемената музике као што су темпо, прогресија акорда, форма и метар. Покушај да се структурирају и пренесу нови начини компоновања и слушања музике довео је до музичке примене теорије скупова, апстрактне алгебре и теорије бројева.

Иако теорија музике нема аксиоматску основу у модерној математици, основа музичког звука може се описати математички (користећи акустику) и показује „изузетан низ својстава бројева”.

Историја Иако се зна да су древни Кинези, Индијци, Египћани и Месопотамци проучавали математичке принципе звука, Питагорејци (посебно Филолај и Архита) из античке Грчке били су први истраживачи за које се зна да су истраживали изражавање музичких лествица у виду нумеричких односа,Платон (прев. Дезмонд Ли) The Republic, Harmondsworth Penguin 1974, страна 340, напомена. посебно односа малих целих бројева. Њихова централна доктрина била је да се „цела природа састоји од хармоније која произлази из бројева”.

Од времена Платона, хармонија се сматрала основном граном физике, данас познатом као музичка акустика. Рани индијски и кинески теоретичари показују сличне приступе: сви су настојали да покажу да су математички закони хармоника и ритама темељни не само за наше разумевање света, већ и за добробит човека. Конфучије је, попут Питагоре, мале бројеве 1, 2, 3 и 4 сматрао извором свог савршенства.

Време, ритам и метар Без граница ритмичке структуре – фундаменталног једнаког и правилног распореда пулса, понављања, такта, фразе и трајања – музика не би била могућа., чланак: Ритам Савремена музичка употреба термина као што су метар и такт такође одражава историјски значај музике, заједно са астрономијом, у развоју бројања, аритметике и тачног мерења времена и периодичности који су фундаментални за физику.

Елементи музичке форме често граде строге пропорције или хиперметријске структуре (степени бројева 2 и 3).

Музичка форма

Музичка форма је план по којем се кратко музичко дело проширује. Термин „план” се такође користи у архитектури, са којом се музичка форма често пореди. Као и архитекта, композитор мора узети у обзир функцију за коју је дело намењено и расположива средства, практикујући економичност и користећи понављање и ред., Oxford 1963, Уобичајени типови форме познати као бинарна и тернарна („дводелна” и „троделна”) још једном показују важност малих целобројних вредности за разумљивост и привлачност музике.

Фреквенција и хармонија thumb|Хладнијеве фигуре произведене звучним вибрацијама у фином праху на квадратној плочи. (Ернст Хладни, Акустика, 1802) Музичка лествица је дискретан скуп висина који се користи у стварању или описивању музике. Најважнија лествица у западној традицији је дијатонска лествица, али су многе друге коришћене и предложене у различитим историјским епохама и деловима света. Свака висина одговара одређеној фреквенцији, израженој у херцима (Hz), понекад називаним циклусима у секунди (c.p.s.). Лествица има интервал понављања, обично октаву. Октава било које висине односи се на фреквенцију тачно двоструко већу од дате висине.

Наредне супероктаве су висине које се налазе на фреквенцијама четири, осам, шеснаест пута, и тако даље, од основне фреквенције. Висине на фреквенцијама од половине, четвртине, осмине и тако даље од основне називају се субоктаве. У музичкој хармонији не постоји случај где се, ако се дата висина сматра складном, њене октаве сматрају другачије. Стога ће свака нота и њене октаве генерално бити слично именоване у музичким системима (нпр. све ће се звати до или A или Са, у зависности од случаја).

Када се изрази као фреквенцијски опсег, једна октава A2–A3 простире се од 110 Hz до 220 Hz (опсег=110 Hz). Следећа октава ће се простирати од 220 Hz до 440 Hz (опсег=220 Hz). Трећа октава се простире од 440 Hz до 880 Hz (опсег=440 Hz) и тако даље. Свака наредна октава обухвата двоструко већи фреквенцијски опсег од претходне октаве.

Пошто нас често занимају односи или размере између висина (познате као интервали), а не прецизне висине саме по себи приликом описивања лествице, уобичајено је да се све висине лествице означавају у смислу њиховог односа према одређеној висини, којој се даје вредност један (често се пише 1/1), генерално ноти која функционише као тоника лествице. За поређење величине интервала често се користе центи.

thumb|Осцилограм средњег C (262 Hz). (Скала: 1 квадрат једнак је 1 милисекунди) thumb|C5, октава изнад средњег C. Фреквенција је двоструко већа од средњег C (523 Hz). thumb|C3, октава испод средњег C. Фреквенција је половина фреквенције средњег C (131 Hz).

{|class="wikitable" !Уобичајенитермин !Примеримена !Hz !Умножакосновне фреквенције !Односунутар октаве !Центиунутар октаве

|style="text-align:center;"|

|style="text-align:center;"|

|style="text-align:center;"|

Системи штимовања

Постоје две главне породице система штимовања: једнака темперација и чисти штим. Лествице једнаке темперације се граде дељењем октаве на интервале који су једнаки на логаритамској скали, што резултира савршено равномерно подељеним лествицама, али са односима фреквенција који су ирационални бројеви. Чисте лествице се граде множењем фреквенција рационалним бројевима, што резултира једноставним односима између фреквенција, али са поделама лествице које су неравномерне.

Једна велика разлика између штимовања једнаке темперације и чистих штимовања су разлике у акустичком избијању када се две ноте свирају заједно, што утиче на субјективно искуство консонанце и дисонанце. Оба ова система, и велика већина музике уопште, имају лествице које се понављају на интервалу сваке октаве, која је дефинисана као однос фреквенција 2:1. Другим речима, сваки пут када се фреквенција удвостручи, дата лествица се понавља.

Испод се налазе Ogg Vorbis датотеке које демонстрирају разлику између чисте интонације и једнаке темперације. Можда ћете морати да преслушате узорке неколико пута пре него што уочите разлику. Два синусна таласа свирана узастопно – овај узорак има полустепен на 550 Hz (C у лествици чисте интонације), праћен полустепеном на 554,37 Hz (C у лествици једнаке темперације). Исте две ноте, постављене уз педал A440 – овај узорак се састоји од „дијаде”. Доња нота је константно А (440 Hz у обе лествице), горња нота је C у једнако темперованој лествици током прве секунде, и C у лествици чисте интонације током последње секунде. Разлике у фази олакшавају уочавање прелаза него у претходном узорку.

Чисти штимови

thumb|upright=2.5|Првих 16 хармоника, њихова имена и фреквенције, приказујући експоненцијалну природу октаве и једноставну фракциону природу не-октавних хармоника. thumb|upright=2.5|Првих 16 хармоника, са фреквенцијама и логаритамским фреквенцијама.

Штимовање са 5-лимитом, најчешћи облик чисте интонације, је систем штимовања који користи тонове који су регуларни бројеви хармоника једне основне фреквенције. Ово је била једна од лествица коју је Јохан Кеплер представио у свом делу Harmonices Mundi (1619) у вези са кретањем планета. Исту лествицу је у транспонованом облику дао шкотски математичар и музички теоретичар, Александер Малколм, 1721. године у свом 'Трактату о музици: спекулативној, практичној и историјској', и теоретичар Хосе Вуершмит у 20. веку. Један облик се користи у музици северне Индије.

Амерички композитор Тери Рајли такође је користио инвертовани облик у свом делу „Харфа новог Албиона”. Чиста интонација даје супериорне резултате када има мало или нимало прогресије акорда: гласови и други инструменти гравитирају ка чистој интонацији кад год је то могуће. Међутим, она даје два различита интервала целог тона (9:8 и 10:9) јер фиксно наштимован инструмент, као што је клавир, не може да мења тоналитет.. чланак: Чиста интонација. Да би се израчунала фреквенција ноте у лествици датој у односима, однос фреквенција се множи са фреквенцијом тонике. На пример, са тоником A4 (А изнад средњег C), фреквенција је 440 Hz, а чисто наштимована квинта изнад ње (E5) је једноставно 440×(3:2) = 660 Hz.

Полустепен Однос Интервал Природни Полустепен 0 1:1 унисоно 480 0 1 16:15 полустепен 512 16:15 2 9:8 велика секунда 540 135:128 3 6:5 мала терца 576 16:15 4 5:4 велика терца 600 25:24 5 4:3 чиста кварта 640 16:15 6 45:32 дијатонски тритонус 675 135:128 7 3:2 чиста квинта 720 16:15 8 8:5 мала секста 768 16:15 9 5:3 велика секста 800 25:24 10 9:5 мала септима 864 27:25 11 15:8 велика септима 900 25:24 12 2:1 октава 960 16:15

Питагорејски штим је штимовање засновано само на савршеним консонанцама, (савршеној) октави, чистој квинти и чистој кварти. Тако се велика терца не сматра терцом, већ дитоном, дословно „два тона”, и износи (9:8)2 = 81:64, а не независна и хармонична чиста 5:4 = 80:64. Цео тон је секундарни интервал, изведен из две чисте квинте минус октава, (3:2)2/2 = 9:8.

Чиста велика терца, 5:4, и мала терца, 6:5, су за синтоничку кому, 81:80, удаљене од својих питагорејских еквивалената 81:64 и 32:27, респективно. Према Карлу , „зависна терца одговара питагорејском, а независна терца хармонијском штимовању интервала.”

Западна музика уобичајене праксе обично се не може свирати у чистој интонацији, већ захтева систематски темперовану лествицу. Темперација може укључивати или неправилности добро темперованог штима или бити конструисана као регуларна темперација, било неки облик једнаке темперације или неки други регуларни mean-tone штим, али у свим случајевима ће укључивати основне карактеристике mean-tone штима. На пример, основни тон акорда ii, ако се штимује квинту изнад доминанте, био би велики цели тон (9:8) изнад тонике. Међутим, ако се штимује чисту малу терцу (6:5) испод чисте субдоминанте од 4:3, интервал од тонике био би једнак малом целом тону (10:9). Mean-tone темперација смањује разлику између 9:8 и 10:9. Њихов однос, (9:8)/(10:9) = 81:80, третира се као унисоно. Интервал 81:80, назван синтоничка кома или Дидимова кома, кључна је кома mean-tone темперације.

Системи једнаке темперације У једнакој темперацији, октава је подељена на једнаке делове на логаритамској скали. Иако је могуће конструисати лествицу једнаке темперације са било којим бројем нота (на пример, 24-тонски арапски тонски систем), најчешћи број је 12, што чини једнако темперовану хроматску лествицу. У западној музици, подела на дванаест интервала се обично подразумева, осим ако није другачије наведено.

Музика и математика

Źródło i licencja