У општој релативности, метрички тензор (у овом контексту често скраћено само метрика) је основни објекат проучавања. Метрика обухвата сву геометријску и каузалну структуру простор-времена, користећи се за дефинисање појмова као што су време, растојање, запремина, кривина, угао и раздвајање будућности и прошлости.

У општој релативности, метрички тензор има улогу гравитационог потенцијала у класичној теорији гравитације, иако је физички садржај повезаних једначина потпуно другачији.За детаље, погледајте одељак 2.11, The Metric Tensor and the Classical Gravitational Potential, у Гутфројнд и Рен наводе „да је у општој релативности гравитациони потенцијал представљен метричким тензором”.

Нотација и конвенције Овај чланак користи метричку сигнатуру која је углавном позитивна (); погледајте конвенција о знаку. Гравитациона константа ће бити експлицитно наведена. Овај чланак користи Ајнштајнову нотацију, где се поновљени индекси аутоматски сумирају.

Дефиниција Математички, простор-време је представљено четвородимензионалном диференцијабилном многострукошћу , а метрички тензор је дат као коваријантни, другог степена, симетрични тензор на , који се конвенционално означава са . Поред тога, захтева се да метрика буде недегенеративна са Лоренцовом сигнатуром . Многострукост опремљена таквом метриком је тип Лоренцове многострукости.

Експлицитно, метрички тензор је симетрична билинеарна форма на сваком тангентном простору многострукости која се мења на гладак (или диференцијабилан) начин од тачке до тачке. Ако су дата два тангентна вектора и у тачки у , метрика се може израчунати на и да би се добио реалан број:

Ово је генерализација скаларног производа обичног Еуклидовог простора. За разлику од Еуклидовог простора – где је скаларни производ позитивно дефинитан – метрика је индефинитна и сваком тангентном простору даје структуру простора Минковског.

Локалне координате и матричне репрезентације Физичари обично раде у локалним координатама (тј. координатама дефинисаним на неком локалном делу многострукости ). У локалним координатама (где је индекс који иде од 0 до 3), метрика се може написати у облику

Фактори су једно-формни градијенти скаларних координатних поља . Метрика је стога линеарна комбинација тензорских производа једно-формних градијената координата. Коефицијенти су скуп од 16 реалних функција (пошто је тензор тензорско поље, које је дефинисано у свим тачкама простор-временске многострукости). Да би метрика била симетрична

даје 10 независних коефицијената.

Ако су локалне координате специфициране, или се подразумевају из контекста, метрика се може написати као симетрична матрица са елементима . Недегенеративност значи да је ова матрица несингуларна (тј. има детерминанту различиту од нуле), док Лоренцова сигнатура имплицира да матрица има једну негативну и три позитивне сопствене вредности. Физичари често називају ову матрицу или саме координате метриком (погледајте, међутим, апстрактна индексна нотација).

С обзиром да се величине посматрају као компоненте инфинитезималног координатног помераја четворовектора (не треба их мешати са једно-формама исте нотације изнад), метрика одређује инваријантни квадрат инфинитезималног линијског елемента, који се често назива интервал. Интервал се често означава са

Интервал пружа информације о каузалној структури простор-времена. Када је , интервал је временски, а квадратни корен апсолутне вредности је инкрементално сопствено време. Само временске интервале може физички прећи масивни објекат. Када је , интервал је светлосни, и могу га прећи само (безмасене) ствари које се крећу брзином светлости. Када је , интервал је просторни, а квадратни корен делује као инкрементална сопствена дужина. Просторни интервали се не могу прећи, јер повезују догађаје који су изван међусобних светлосних конуса. Догађаји могу бити каузално повезани само ако су унутар међусобних светлосних конуса.

Компоненте метрике зависе од избора локалног координатног система. При промени координата , компоненте метрике се трансформишу као

Својства Метрички тензор игра кључну улогу у манипулацији индексима. У индексној нотацији, коефицијенти метричког тензора обезбеђују везу између коваријантних и контраваријантних компоненти других тензора. Контраховање контраваријантног индекса тензора са једним од коваријантних коефицијената метричког тензора има ефекат спуштања индекса

и слично, контраваријантни коефицијент метрике подиже индекс

Примена овог својства подизање и спуштање индекса на саме компоненте метричког тензора доводи до својства

За дијагоналну метрику (ону за коју су коефицијенти ; тј. базни вектори су ортогонални један на други), ово имплицира да је дати коваријантни коефицијент метричког тензора инверзан одговарајућем контраваријантном коефицијенту , итд.

Примери

Раван простор-време Најједноставнији пример Лоренцове многострукости је раван простор-време, које се може дати као са координатама и метриком

Ове координате заправо покривају цео . Метрика равног простора (или метрика Минковског) се често означава симболом и то је метрика која се користи у специјалној релативности. У горе наведеним координатама, матрична репрезентација је

(Алтернативна конвенција замењује координату са , и дефинише као у Простор Минковског#Стандардна база.)

У сферним координатама , метрика равног простора има облик

где је

стандардна метрика на 2-сфери.

Метрике црних рупа Шварцшилдова метрика описује ненаелектрисану, неротирајућу црну рупу. Постоје и метрике које описују ротирајуће и наелектрисане црне рупе.

Шварцшилдова метрика Поред метрике равног простора, најважнија метрика у општој релативности је Шварцшилдова метрика, која се у једном скупу локалних координата може дати као

где је, опет, стандардна метрика на 2-сфери. Овде је гравитациона константа, а је константа са димензијама масе. Њено извођење се може наћи овде. Шварцшилдова метрика се приближава метрици Минковског како се приближава нули (осим у координатном почетку где је недефинисана). Слично, када тежи бесконачности, Шварцшилдова метрика се приближава метрици Минковског.

Са координатама метрика се може написати као

Развијено је неколико других система координата за Шварцшилдову метрику: Едингтон-Финкелштајнове координате, Гулстранд-Пенлевеове координате, Крускал-Секерешове координате и Леметрове координате.

Ротирајуће и наелектрисане црне рупе Шварцшилдово решење претпоставља објекат који не ротира у простору и није наелектрисан. Да би се узело у обзир наелектрисање, метрика мора задовољити Ајнштајнове једначине поља као и раније, као и Максвелове једначине у закривљеном простор-времену. Наелектрисана, неротирајућа маса је описана Рајснер-Нордстремовом метриком. Ротирајуће црне рупе су описане Керовом метриком (ненаелектрисане) и Кер-Њумановом метриком (наелектрисане).

Остале метрике

Друге значајне метрике су: Алкубијерова метрика, де Ситер/анти-де Ситер метрике, Фридман-Леметр-Робертсон-Вокерова метрика, Изотропне координате, Леметр-Толманова метрика, Пересова метрика, Риндлерове координате, Вајл-Луис-Папапетруове координате, Геделова метрика. Неке од њих су без хоризонта догађаја или могу бити без гравитационе сингуларности.

Запремина Метрика индукује природну запреминску форму (до на знак), која се може користити за интеграцију преко региона многострукости. Ако су дате локалне координате за многострукост, запреминска форма се може написати као

где је детерминанта матрице компоненти метричког тензора за дати координатни систем.

Кривина Метрика у потпуности одређује кривину простор-времена. Према основној теореми Риманове геометрије, постоји јединствена конексија на било којој полу-Римановој многострукости која је компатибилна са метриком и без торзије. Ова конексија се назива Леви-Чивита конексија. Кристофелови симболи ове конексије су дати у терминима парцијалних извода метрике у локалним координатама формулом

(где зарези означавају парцијалне изводе).

Кривина простор-времена је тада дата Римановим тензором кривине који је дефинисан у терминима Леви-Чивита конексије ∇. У локалним координатама овај тензор је дат са:

Кривина се тада може изразити чисто у терминима метрике и њених извода.

Ајнштајнове једначине Једна од основних идеја опште релативности је да је метрика (и повезана геометрија простор-времена) одређена садржајем материје и енергије простор-времена. Ајнштајнове једначине поља:

где Ричијев тензор кривине

и скаларна кривина

повезују метрику (и повезане тензоре кривине) са тензором енергије-импулса . Ова тензорска једначина је сложен скуп нелинеарних парцијалних диференцијалних једначина за компоненте метрике. Егзактна решења Ајнштајнових једначина поља је веома тешко пронаћи.

Види још Алтернативе општој релативности Увод у математику опште релативности Математика опште релативности Ричијев рачун

Референце

Категорија:Тензори у општој релативности Категорија:Време у физици