десно|мини|250п|Један од три неалтернирајућа чвора са бројем пресека 8
У теорији чворова, дијаграм чвора или петље је алтернирајући ако се пресеци наизменично смењују испод, изнад, испод, изнад, док се путује дуж сваке компоненте петље. Петља је алтернирајућа ако има алтернирајући дијаграм.
Многи чворови са бројем пресека мањим од 10 су алтернирајући. Ова чињеница и корисна својства алтернирајућих чворова, као што су Тејтове хипотезе, омогућили су раним састављачима табела чворова, попут Тејта, да направе табеле са релативно мало грешака или пропуста. Најједноставнији неалтернирајући прости чворови имају 8 пресека (и постоје три таква: 819, 820, 821).
Претпоставља се да, како се број пресека повећава, проценат алтернирајућих чворова експоненцијално брзо тежи нули.
Алтернирајуће петље имају важну улогу у теорији чворова и теорији 3-многострукости, због тога што њихови комплементи имају корисна и занимљива геометријска и тополошка својства. Ово је навело Ралфа Фокса да постави питање: „Шта је алтернирајући чвор?” Тиме је питао која не-дијаграмска својства комплемента чвора би карактерисала алтернирајуће чворове.; видети посебно стр. 32
У новембру 2015. године, Џошуа Еван Грин је објавио препринт у којем је успоставио карактеризацију алтернирајућих петљи у терминима дефинитних разапињућих површи, тј. дефиницију алтернирајућих петљи (чији су алтернирајући чворови посебан случај) без коришћења концепта дијаграма петље.
Различите геометријске и тополошке информације се откривају у алтернирајућем дијаграму. Простост и раздвојивост петље се лако уочавају из дијаграма. Број пресека редукованог, алтернирајућег дијаграма једнак је броју пресека чвора. Ово последње је једна од чувених Тејтових хипотеза.
Алтернирајући дијаграм чвора је у бијективној кореспонденцији са планарним графом. Сваки пресек је повезан са једном ивицом, а половина повезаних компоненти комплемента дијаграма повезана је са чворовима на начин шаховске табле.
Датотека:Trefle.jpg
Датотека:Frise.jpg
Тејтове хипотезе
Тејтове хипотезе су: Сваки редуковани дијаграм алтернирајуће петље има најмањи могући број пресека. Свака два редукована дијаграма истог алтернирајућег чвора имају исти . За дата два редукована алтернирајућа дијаграма D1 и D2 оријентисане, просте, алтернирајуће петље, D1 се може трансформисати у D2 низом одређених једноставних потеза који се називају (). Ово је познато и као Тејтова хипотеза о флајповима.
Морвен Тислвејт, Луис Кауфман и Кунио Мурасуги су доказали прве две Тејтове хипотезе 1987. године, а Морвен Тислвејт и Вилијам Менаско су доказали Тејтову хипотезу о флајповима 1991. године.
Хиперболичка запремина
Менаско је, примењујући Терстонову теорему о хиперболизацији за Хекенове многострукости, показао да је свака проста, нераздвојива алтернирајућа петља хиперболичка, тј. комплемент петље има хиперболичку геометрију, осим ако је петља торусна петља.
Стога је хиперболичка запремина инваријанта многих алтернирајућих петљи. Марк Лакенби је показао да запремина има горње и доње линеарне границе као функција броја региона увијања редукованог, алтернирајућег дијаграма.
Референце
Литература
Спољашње везе
Celtic Knotwork — за прављење алтернирајућег чвора из његовог планарног графа
Категорија:Алтернирајући чворови и петље Категорија:Инваријанте чворова