У математици, Адамсова спектрална секвенца је спектрална секвенца коју је увео и која израчунава стабилне хомотопске групе тополошких простора. Као и све спектралне секвенце, то је рачунско средство; она повезује теорију хомологије са оним што се данас назива стабилна хомотопска теорија. То је преформулација која користи хомолошку алгебру, као и проширење технике зване „убијање хомотопских група” коју је примењивала француска школа Анрија Картана и Жан-Пјера Сера.

Мотивација

За све што следи, једном заувек, фиксирамо прост број p. Сви простори се сматрају CW-комплексима. Под обичним кохомолошким групама подразумева се .

Примарни циљ алгебарске топологије је покушај разумевања колекције свих пресликавања, до на хомотопију, између произвољних простора X и Y. Ово је изузетно амбициозно: конкретно, када је X сфера , ова пресликавања чине n-ту хомотопску групу од Y. Разумнији (али и даље веома тежак!) циљ је разумевање скупа пресликавања (до на хомотопију) која преостају након што применимо функтор суспензије велики број пута. Ово називамо колекцијом стабилних пресликавања од X до Y. (Ово је полазна тачка стабилне хомотопске теорије; модернији приступи овој теми почињу концептом спектра. Адамсов оригинални рад није користио спектре, па ћемо избећи њихово даље помињање у овом одељку како би садржај остао што елементарнији.)

Испоставља се да је скуп абелова група, а ако су X и Y „разумни” простори, ова група је коначно генерисана. Да бисмо открили шта је та група, прво изолујемо прост број p. У покушају да израчунамо p-торзију од , посматрамо кохомологију: шаљемо у Hom(H*(Y), H*(X)). Ово је добра идеја јер су кохомолошке групе обично погодне за израчунавање.

Кључна идеја је да је више од обичне градиране абелове групе, па чак и више од градираног прстена (преко cup производа). Репрезентабилност кохомолошког функтора чини H*(X) модулом над алгебром његових стабилних кохомолошких операција, тј. Стинродовом алгебром A. Посматрање H*(X) као A-модула занемарује одређену структуру cup производа, али добитак је огроман: Hom(H*(Y), H*(X)) се сада може сматрати A-линеарним! А приори, A-модул не „види” ништа више од [X, Y] него што је видео када смо га сматрали пресликавањем векторских простора над Fp. Али сада можемо разматрати изведене функторе од Hom у категорији A-модула, ExtAr(H*(Y), H*(X)). Они добијају другу градацију од градације на H*(Y), и тако добијамо дводимензионалну „страницу” алгебарских података. Ext групе су дизајниране да мере неуспех очувања алгебарске структуре од стране Hom-а, па је ово разуман корак.

Поента свега овога је да је A толико велика да наведена страница кохомолошких података садржи све информације потребне за добијање p-примарног дела од [X, Y], што су подаци о хомотопији. Ово је велико достигнуће јер је кохомологија дизајнирана да буде израчунљива, док је хомотопија дизајнирана да буде моћна. То је садржај Адамсове спектралне секвенце.

Класична формулација

Формулација за израчунавање хомотопских група спектара Класична Адамсова спектрална секвенца може се формулисати за било који конективни спектар коначног типа, што значи да је за и да је коначно генерисана абелова група у сваком степену. Тада постоји спектрална секвенца таква да:

где је Стинродова алгебра по модулу ; За коначног типа, је биградирана група повезана са филтрацијом (p-адских целих бројева).

Приметите да ово имплицира да за , ово израчунава -торзију хомотопских група сферног спектра, односно стабилне хомотопске групе сфера. Такође, пошто за било који CW-комплекс можемо посматрати спектар суспензије , ово даје и исказ претходне формулације.

Овај исказ се генерализује још мало заменом -модула кохомолошким групама за неки конективни спектар (или тополошки простор ). То је зато што конструкција спектралне секвенце користи „слободну” резолуцију као -модула, па можемо израчунати Ext групе са као другим уносом. Стога добијамо спектралну секвенцу са -страницом датом као:која има својство конвергенције тако да је изоморфна градираним деловима филтрације -торзије стабилне хомотопске групе класа хомотопије пресликавања између и , то јест:

Спектрална секвенца за стабилне хомотопске групе сфера На пример, ако узмемо да су оба спектра сферни спектри, дакле , тада Адамсова спектрална секвенца има својство конвергенције:што даје техничко средство за приступ израчунавању стабилних хомотопских група сфера. Испоставља се да се многи од првих чланова могу експлицитно израчунати из чисто алгебарских информација.pp 23–25 Такође, приметимо да можемо записати , па је -страница:Испод укључујемо информације о овом прорачуну за .

Ext чланови из резолуције Дату Адамсову резолуцију:имамо -чланове као:за градиране Hom-групе. Тада се -страница може записати као:тако да се степен може посматрати као „дубина” до које идемо у Адамсовој резолуцији пре него што можемо пронаћи генераторе.

Прорачуни Сама секвенца није алгоритамски уређај, већ је погодна за решавање проблема у појединачним случајевима.

Градација диференцијала -ти Адамсов диференцијал увек иде улево за 1, и нагоре за . То јест: .

Примери са Ајленберг–Маклејновим спектрима Неки од најједноставнијих прорачуна су са Ајленберг–Маклејновим спектрима као што су и . За први случај имамо страницу:што даје колапсирану спектралну секвенцу, одакле је . Ово се може записати као:што даје -страницу. За други случај, приметимо да постоји кофиберна секвенца:која на крају даје раздвајање у кохомологији, тако да је као -модула. Тада се -страница за може читати као:Очекивана -страница је:.Једини начин да ова спектрална секвенца конвергира ка овој страници је да постоје нетривијални диференцијали подржани на сваком елементу са Адамсовом градацијом .

Друге примене Адамсова оригинална употреба његове спектралне секвенце била је први доказ проблема Хопфове инваријанте 1: допушта структуру алгебре дељења само за n = 1, 2, 4, или 8. Касније је пронашао много краћи доказ користећи кохомолошке операције у К-теорији.

Теорема о Томовом изоморфизму повезује диференцијалну топологију са стабилном хомотопском теоријом, и ту је Адамсова спектрална секвенца нашла своју прву велику примену: 1960. године, Џон Милнор и Сергеј Новиков су користили Адамсову спектралну секвенцу за израчунавање прстена коефицијената комплексног кобордизма. Даље, Милнор и Си-Ти-Си Вол су користили спектралну секвенцу да докажу Томову хипотезу о структури оријентисаног кобордизма прстена: две оријентисане многострукости су кобордантне ако и само ако се њихови Понтрјагинови и Штифел–Витнијеви бројеви поклапају.

Стабилне хомотопске групе сфера thumb|609x609px|Визуелни дијаграм који приказује страницу Адамсове спектралне секвенце која израчунава стабилне хомотопске групе сфера. Тачке представљају елементе преостале са странице, а дијагоналне линије које иду нагоре и улево представљају различите диференцијале у спектралној секвенци. Диференцијал се помера за једну јединицу улево и јединица нагоре. Вертикалне линије служе као помоћно средство за одређивање структуре торзионих група. Штавише, оне представљају множење са . Линије које иду нагоре и удесно за једну јединицу представљају множење са . Користећи горенаведену спектралну секвенцу за , можемо експлицитно израчунати неколико чланова, дајући неке од првих стабилних хомотопских група сфера. За ово се своди на посматрање -странице са:Ово се може урадити прво посматрањем Адамсове резолуције за . Пошто је у степену , имамо сурјекцију:где има генератор у степену означен са . Језгро се састоји од свих елемената за допустиве мономе који генеришу , стога имамо пресликавање:и означавамо сваки од генератора који се слика у у директној суми као , а остатак генератора као за неко . На пример:Приметите да се последња два елемента сликају у исти елемент, што следи из Адемових релација. Такође, постоје елементи у језгру, као што је , пошто:због Адемове релације. Генератор овог елемента у називамо . Можемо применити исти процес и добити језгро , разложити га, и тако даље. Када то урадимо, добијамо -страницу која изгледа овако: што се може рачунарски проширити до степена са релативном лакоћом. Користећи пронађене генераторе и релације, можемо израчунати -страницу са релативном лакоћом. Понекад теоретичари хомотопије воле да преуреде ове елементе тако да хоризонтални индекс означава , а вертикални индекс означава , дајући другачији тип дијаграма за -страницуpg 21. Погледајте дијаграм изнад за више информација.

Генерализације Адамс–Новиковљева спектрална секвенца је генерализација Адамсове спектралне секвенце коју је увео , где је обична кохомологија замењена генералисаном кохомолошком теоријом, често комплексним бордизмом или Браун–Петерсоновом кохомологијом. Ово захтева познавање алгебре стабилних кохомолошких операција за дату кохомолошку теорију, али омогућава прорачуне који су потпуно неизводљиви са класичном Адамсовом спектралном секвенцом.

Види још Постниковљев систем Стинродова алгебра Спектар (топологија) Адамсова резолуција Равенелове хипотезе

Референце

Литература

Спољашње везе

Категорија:Теорија хомотопије Категорија:Спектралне секвенце