У физици, Клаузер-Хорн-Шимони-Холтова (CHSH) неједнакост може се користити у доказу Белове теореме, која каже да се одређене последице спрегнутости у квантној механици не могу репродуковати теоријама локалних скривених променљивих. Експериментална верификација кршења неједнакости сматра се потврдом да се природа не може описати таквим теоријама. CHSH је скраћеница за ауторе: Џон Клаузер, Мајкл Хорн, Абнер Шимони и Ричард Холт, који су је описали у често цитираном раду објављеном 1969. године. Они су извели CHSH неједнакост, која је, као и оригинална неједнакост Џона Стјуарта Бела,, reproduced as Ch. 2 of ограничење — на статистичку појаву „коинциденција” у Беловом тесту — које је нужно тачно ако постоји основна теорија локалних скривених променљивих. У пракси, модерна експерименти у квантној механици рутински крше ову неједнакост.
Формулација Уобичајени облик CHSH неједнакости је:
где је
и су подешавања детектора на страни , и на страни , при чему се четири комбинације тестирају у одвојеним подекспериментима. Термини итд. су квантне корелације парова честица, где је квантна корелација дефинисана као очекивана вредност производа „исхода” експеримента, тј. статистички просек , где су засебни исходи, користећи кодирање +1 за канал '+' и −1 за канал '−'. Извођење Клаузера и сарадника из 1969. године било је усмерено ка употреби „двоканалних” детектора, и заиста се за њих углавном и користи, али према њиховој методи једини могући исходи били су +1 и −1. Да би се прилагодили стварним ситуацијама, што је у то време значило употребу поларизоване светлости и једноканалних поларизатора, морали су да тумаче '−' као „недетектовање у '+' каналу”, тј. или '−' или ништа. У оригиналном чланку нису разматрали како би се двоканална неједнакост могла применити у стварним експериментима са стварним несавршеним детекторима, иако је касније доказаноJ. S. Bell, in Foundations of Quantum Mechanics, Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi", Course XLIX, B. d'Espagnat (ed.) (Academic, New York, 1971), p. 171 and Appendix B. Pages 171-81 are reproduced as Ch. 4 of J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press 1987) да је сама неједнакост подједнако важећа. Појава нултих исхода, међутим, значи да више није тако очигледно како вредности E треба проценити из експерименталних података.
Математички формализам квантне механике предвиђа да вредност прелази 2 за системе припремљене у одговарајућим спрегнутим стањима и уз одговарајући избор подешавања мерења (видети испод). Максимално кршење које предвиђа квантна механика износи (Цирелсонова граница) и може се добити из максимално спрегнутог Беловог стања.
Експерименти Многи Белови тестови спроведени након другог експеримента Алена Аспеа 1982. године користили су CHSH неједнакост, процењујући чланове користећи (3) и претпостављајући поштено узорковање. Пријављена су нека драматична кршења неједнакости.300px|мини|десно|Шематски приказ „двоканалног” Беловог тестаИзвор S производи парове фотона, који се шаљу у супротним смеровима. Сваки фотон наилази на двоканални поларизатор (a и b) чију оријентацију експериментатор може подесити. Излазни сигнали из сваког канала се детектују, а коинциденције (поклапања) броји монитор коинциденција CM.
У пракси, већина стварних експеримената користила је светлост, а не електроне које је Бел првобитно имао на уму. Својство од интереса је, у најпознатијим експериментима, правац поларизације, иако се могу користити и друга својства. Дијаграм приказује типичан оптички експеримент. Бележе се коинциденције (истовремене детекције), при чему се резултати категоришу као '++', '+−', '−+' или '−−' и одговарајући бројеви се акумулирају.
Спроводе се четири одвојена подексперимента, која одговарају четирима члановима у тест статистици S (, изнад). У пракси се обично бирају подешавања , , и — „углови Беловог теста” — јер су то углови за које формула квантне механике даје највеће кршење неједнакости.
За сваку одабрану вредност , бележе се бројеви коинциденција у свакој категорији . Експериментална процена за се затим израчунава као:
Када су све вредности процењене, може се наћи експериментална процена за S (Једн. ). Ако је нумерички већа од 2, прекршила је CHSH неједнакост и проглашава се да је експеримент подржао предвиђање квантне механике и одбацио све теорије локалних скривених променљивих.
CHSH рад наводи многе предуслове (или „разумне и/или претпостављене претпоставке”) за извођење поједностављене теореме и формуле. На пример, да би метода била валидна, мора се претпоставити да су детектовани парови поштен узорак оних емитованих. У стварним експериментима, детектори никада нису 100% ефикасни, тако да се детектује само узорак емитованих парова. Суптилан, повезан захтев је да скривене променљиве не утичу нити одређују вероватноћу детекције на начин који би довео до различитих узорака на сваком краку експеримента.
CHSH неједнакост је прекршена са паровима фотона, паровима јона берилијума, паровима јона итербијума, паровима атома рубидијума, паровима целих облака атома рубидијума, ваканцијама азота у дијамантима, и Џозефсоновим фазним кубитима.
Извођење Оригинално извођење из 1969. неће бити овде приказано јер није лако за праћење и укључује претпоставку да су исходи увек +1 или −1, а никада нула. Белово извођење из 1971. је општије. Он ефективно претпоставља „Објективну локалну теорију” коју су касније користили Клаузер и Хорн. Претпоставља се да су било које скривене променљиве повезане са самим детекторима независне на две стране и да се могу усредњити од самог почетка. Друго занимљиво извођење дато је у раду Клаузера и Хорна из 1974. године, у којем полазе од CH74 неједнакости.
Белово извођење из 1971. Следеће је засновано на страни 37 Белове књиге Изрециво и неизрециво (енгл. Speakable and Unspeakable), при чему је главна измена употреба симбола 'E' уместо 'P' за очекивану вредност квантне корелације. Ово избегава било какву сугестију да је сама квантна корелација вероватноћа.
Почињемо са стандардном претпоставком независности две стране, што нам омогућава да добијемо здружене вероватноће парова исхода множењем засебних вероватноћа, за било коју изабрану вредност „скривене променљиве” λ. Претпоставља се да је λ извучена из фиксне расподеле могућих стања извора, при чему је вероватноћа да извор буде у стању λ за било који појединачни покушај дата функцијом густине ρ(λ), чији је интеграл преко комплетног простора скривених променљивих 1. Стога претпостављамо да можемо писати:
где су A и B исходи. Будући да су могуће вредности A и B −1, 0 и +1, следи да:
Затим, ако су a, a′, b и b′ алтернативна подешавања за детекторе,
Узимањем апсолутних вредности обе стране и применом неједнакости троугла на десну страну, добијамо
Користимо чињеницу да су и оба ненегативна да бисмо преписали десну страну овога као
Према (), ово мора бити мање или једнако
што је, користећи чињеницу да је интеграл од једнак 1, једнако
што је једнако .
Спајањем овога са левом страном, имамо:
што значи да је лева страна мања или једнака и и . То јест:
одакле добијамо
(поново помоћу неједнакости троугла), што је CHSH неједнакост.
Извођење из неједнакости Клаузера и Хорна из 1974.
У свом раду из 1974. године, Клаузер и Хорн показују да се CHSH неједнакост може извести из CH74 неједнакости. Како нам они кажу, у двоканалном експерименту CH74 једноканални тест је и даље применљив и пружа четири скупа неједнакости које управљају вероватноћама p коинциденција.
Радећи са нехомогеном верзијом неједнакости, можемо писати:
где су j и k сваки '+' или '−', означавајући који детектори се разматрају.
Да би се добила CHSH тест статистика S (), све што је потребно је помножити неједнакости за које је j различито од k са −1 и додати их неједнакостима за које су j и k исти.
Оптимално нарушавање општим квантним стањем У експерименталној пракси, две честице нису идеалан ЕПР пар. Постоји потребан и довољан услов да матрица густине два кубита наруши CHSH неједнакост, изражен максималним достижним полиномом Smax дефинисаним у . Ово је важно у дистрибуцији квантног кључа заснованој на спрегнутости, где брзина тајног кључа зависи од степена корелација мерења.
Уведимо 3×3 реалну матрицу са елементима , где су Паулијеве матрице. Затим налазимо сопствене вредности и векторе реалне симетричне матрице ,
где су индекси сортирани по . Тада је максимални CHSH полином одређен двема највећим сопственим вредностима,
Оптималне базе мерења
Постоји оптимална конфигурација база мерења a, a', b, b за дато која даје Smax са најмање једним слободним параметром.
Пројективно мерење које даје +1 или −1 за два ортогонална стања респективно, може се изразити оператором . Избор ове базе мерења може се параметризовати реалним јединичним вектором и Паулијевим вектором изражавањем . Тада је очекивана корелација у базама a, b
Нумеричке вредности базних вектора, када се пронађу, могу се директно превести у конфигурацију пројективних мерења.
Оптимални скуп база за стање налази се узимањем две највеће сопствене вредности и одговарајућих сопствених вектора матрице , и налажењем помоћних јединичних вектора
где је слободан параметар. Такође израчунавамо оштар угао
да бисмо добили базе које максимизују ,
У дистрибуцији квантног кључа заснованој на спрегнутости, постоји још једна база мерења која се користи за комуникацију тајног кључа ( под претпоставком да Алис користи страну A). Базе тада треба да минимизују стопу грешке квантног бита Q, што је вероватноћа добијања различитих исхода мерења (+1 на једној честици и −1 на другој). Одговарајуће базе су
CHSH полином S такође треба максимизовати, што заједно са базама изнад ствара ограничење .
CHSH игра CHSH игра''' је мисаони експеримент који укључује две стране раздвојене великом удаљеношћу (довољно далеко да се спречи класична комуникација брзином светлости), од којих свака има приступ једној половини спрегнутог пара два кубита. Анализа ове игре показује да ниједна класична теорија локалних скривених променљивих не може да објасни корелације које могу произаћи из спрегнутости. Пошто је ова игра заиста физички остварива, то даје снажне доказе да је класична физика фундаментално неспособна да објасни одређене квантне феномене, барем на „локалан” начин.
У CHSH игри постоје два играча који сарађују, Алис и Боб, и судија, Чарли. Ови агенти ће бити означени скраћеницама респективно. На почетку игре, Чарли бира битове униформно насумично, а затим шаље Алис и Бобу. Алис и Боб морају затим сваки одговорити Чарлију битовима респективно. Када Алис и Боб пошаљу своје одговоре назад Чарлију, Чарли тестира да ли важи , где ∧ означава логичку И операцију, а ⊕ означава логичку ЕКСИЛИ операцију. Ако ова једнакост важи, онда Алис и Боб побеђују, а ако не, онда губе.
Такође се захтева да одговори Алис и Боба могу зависити само од битова које виде: дакле, Алисин одговор зависи само од , и слично за Боба. То значи да је Алис и Бобу забрањено да директно комуницирају једно с другим о вредностима битова које им је послао Чарли. Међутим, Алис и Боб имају дозволу да се договоре о заједничкој стратегији пре почетка игре.
У следећим одељцима приказано је да ако Алис и Боб користе само класичне стратегије које укључују њихове локалне информације (и потенцијално нека насумична бацања новчића), немогуће је да победе са вероватноћом већом од 75%. Међутим, ако је Алис и Бобу дозвољено да деле један спрегнути пар кубита, тада постоји стратегија која омогућава Алис и Бобу да успеју са вероватноћом од ~85%.
Оптимална класична стратегија