+ Изабрани правилни политопиПравилни (2D) многоугловиКонвексниЗвездасти150px|class=skin-invert{5}150px|class=skin-invert{5/2}Правилни (3D) полиедриКонвексниЗвездасти150px{5,3}150px{5/2,5}Правилни 4D политопиКонвексниЗвездасти150px{5,3,3}150px{5/2,5,3}Правилна 2D поплочавањаЕуклидскаХиперболичка150px{4,4}150px{5,4}Правилна 3D поплочавањаЕуклидскаХиперболичка150px{4,3,4}150px{5,3,4} Овај чланак наводи правилне политопе у еуклидским, сферним и хиперболичким просторима.
Преглед Ова табела приказује резиме броја правилних политопа по рангу.
rowspan=3 КоначниЕуклидскиХиперболичкиrowspan=3 КомпактниПаракомпактниКонвексниЗвездастиКосиКонвексниКосиКонвексниЗвездастиКонвексни11style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"12∞∞style="color:#999999; font-size:80%"1style="color:#999999; font-size:80%"1style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"∞354933∞∞∞∞461018174style="color:#999999; font-size:80%"11∞53style="color:#999999; font-size:80%"3315542∞63style="color:#999999; font-size:80%"317style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"5∞7+3style="color:#999999; font-size:80%"317style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"style="color:#999999; font-size:80%"∞
Не постоје еуклидска правилна звездаста поплочавања ни у једном броју димензија.
1-политопи frameless|uprightКоксетерова схема представља огледалске „равни” као чворове и ставља прстен око чвора ако тачка није на равни. Дион { }, , је тачка и њена слика у огледалу , као и дуж између њих. Постоји само један политоп ранга 1 (1-политоп), затворена дуж ограничена својим двема крајњим тачкама. Свака реализација овог 1-политопа је правилна. Има Шлефлијев симбол { }, или Коксетерову схему са једним прстенованим чвором, . Норман Џонсон га назива дион и даје му Шлефлијев симбол { }.
Иако тривијалан као политоп, појављује се као ивице многоуглова и других вишедимензионалних политопа. Користи се у дефиницији униформних призми као што је Шлефлијев симбол { }×{p}, или Коксетерова схема као Декартов производ дужи и правилног многоугла.
2-политопи (многоуглови) Политопи ранга 2 (2-политопи) називају се многоуглови. Правилни многоуглови су једнакостранични и тетивни. -угаони правилни многоугао представљен је Шлефлијевим симболом {p}.
Многи извори разматрају само конвексне многоуглове, али звездасти многоуглови, попут пентаграма, када се узму у обзир, такође могу бити правилни. Они користе иста темена као и конвексни облици, али се повезују у алтернативној повезаности која пролази око круга више пута да би се завршила.
Конвексни Шлефлијев симбол {p} представља правилни -угао.
НазивТроугао(2-симплекс)Квадрат(2-ортоплекс)(2-коцка)Петоугао(2-петоугаониполитоп)ШестоугаоСедмоугаоОсмоугаоШлефли{3}{4}{5}{6}{7}{8}СиметријаD3, D4, D5, D6, D7, D8, КоксетерСлика60px60px60px60px60px60pxНазивДеветоугао(Енеагон)ДесетоугаоЈеданаестоугаоДванаестоугаоТринаестоугаоЧетрнаестоугаоШлефли{9}{10}{11}{12}{13}{14}СиметријаD9, D10, D11, D12, D13, D14, ДинкинСлика60px60px60px60px60px60pxНазивПетнаестоугаоШеснаестоугаоСедамнаестоугаоОсамнаестоугаоДеветнаестоугаоДвадесетоугао p-угаоШлефли{15}{16}{17}{18}{19}{20}{p}СиметријаD15, D16, D17, D18, D19, D20, Dp, [p]ДинкинСлика60px60px60px60px60px60px60px
Сферни Правилни дигон {2} се може сматрати дегенерисаним правилним многоуглом. Може се реализовати недегенерисано у неким нееуклидским просторима, као што су површина сфере или торуса. На пример, дигон се може реализовати недегенерисано као сферни лун. Моногон {1} се такође може реализовати на сфери као једна тачка са великим кругом кроз њу.Coxeter, Regular Complex Polytopes, Међутим, моногон није валидан апстрактни политоп јер његова једина ивица належе само на једно теме уместо на два.
НазивМоногонДигонШлефлијев симбол{1}{2}СиметријаD1, [ ]D2, Коксетерова схема или Слика60px60px
Звезде Постоји бесконачно много правилних звездастих политопа у две димензије, чији се Шлефлијеви симболи састоје од рационалних бројева . Они се називају звездасти многоуглови и деле исте распореде темена као конвексни правилни многоуглови.
Генерално, за било који природан број , постоје правилне -краке звезде са Шлефлијевим симболима за све тако да (строго говорећи ) и и су узајамно прости (као такви, све стелације многоугла са простим бројем страница биће правилне звезде). Симболи где и нису узајамно прости могу се користити за представљање сложених многоуглова.
НазивПентаграм ХептаграмиОктаграм ЕнеаграмиДекаграм...n-грамиШлефли{7/2}|{7/3}|{8/3}|{9/2}|{9/4}|{10/3}|{p/q}СиметријаD5, D7, D8, D9, ,D10, Dp, [p]КоксетерСлика75px75px75px75px75px75px75px
+ Правилни звездасти многоуглови са до 20 страница60px{11/2}60px{11/3}60px{11/4}60px{11/5}60px{12/5}60px{13/2}60px{13/3}60px{13/4}60px{13/5}60px{13/6}60px{14/3}60px{14/5}60px{15/2}60px{15/4}60px{15/7}60px{16/3}60px{16/5}60px{16/7}60px{17/2}60px{17/3}60px{17/4}60px{17/5}60px{17/6}60px{17/7}60px{17/8}60px{18/5}60px{18/7}60px{19/2}60px{19/3}60px{19/4}60px{19/5}60px{19/6}60px{19/7}60px{19/8}60px{19/9}60px{20/3}60px{20/7}60px{20/9}
Звездасти многоуглови који могу постојати само као сферна поплочавања, слично моногону и дигону, могу постојати (на пример: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), међутим они нису детаљно проучавани.
Постоје и неуспели звездасти многоуглови, као што је пи-угао, који не покривају површину круга коначан број пута.
Коси многоуглови Поред равних правилних многоуглова, постоји бесконачно много правилних косих многоуглова. Коси многоуглови могу се креирати помоћу операције мешања (blending).
Мешавина два многоугла и , записана , може се конструисати на следећи начин: узме се Декартов производ њихових темена . додају се ивице где је ивица од и је ивица од . изабере се произвољна повезана компонента резултата. Алтернативно, мешавина је многоугао где су и генеративна огледала од и постављена у ортогоналне потпросторе. Операција мешања је комутативна, асоцијативна и идемпотентна.
Сваки правилни коси многоугао може се изразити као мешавина јединственог скупа равних многоуглова. Ако и немају заједничких фактора, онда .
У 3-простору Правилни коначни многоуглови у 3 димензије су тачно мешавине равних многоуглова (димензија 2) са дигоном (димензија 1). Имају темена која одговарају призми ( где је непаран број) или антипризми ( где је паран број). Сви многоуглови у 3-простору имају паран број темена и ивица.
Неколико њих се појављује као Петријеви многоуглови правилних полиедара.
У 4-простору Правилни коначни многоуглови у 4 димензије су тачно многоуглови формирани као мешавина два различита равна многоугла. Имају темена која леже на Клифордовом торусу и повезана су Клифордовим померајем. За разлику од 3-димензионалних многоуглова, коси многоуглови на двоструким ротацијама могу укључивати непаран број страница.
3-политопи (полиедри)
Политопи ранга 3 називају се полиедри:
Правилни полиедар са Шлефлијевим симболом , Коксетеровим схемама , има тип правилне стране и правилну темену фигуру .
Темена фигура (полиедра) је многоугао, виђен повезивањем оних темена која су једну ивицу удаљена од датог темена. За правилне полиедре, ова темена фигура је увек правилан (и раван) многоугао.
Постојање правилног полиедра ограничено је неједнакошћу, повезаном са угаоним дефектом темене фигуре:
Набрајањем пермутација, налазимо пет конвексних облика, четири звездаста облика и три поплочавања равни, све са многоугловима и ограниченим на: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.
Изван еуклидског простора, постоји бесконачан скуп правилних хиперболичких поплочавања.
Конвексни Пет конвексних правилних полиедара називају се Платонова тела. Темена фигура је дата уз сваки број темена. Сви ови полиедри имају Ојлерову карактеристику () 2.
Назив Шлефли Коксетер Слика(тело) Слика(сфера) Стране Ивице Темена Симетрија Дуал Тетраедар(3-симплекс) {3,3} 76px 76px 4{3} 6 4{3} Td[3,3](*332) (себи) ХексаедарКоцка (3-коцка) {4,3} 76px 76px 6{4} 12 8{3} Oh[4,3](*432) Октаедар Октаедар(3-ортоплекс) {3,4} 76px 76px 8{3} 12 6{4} Oh[4,3](*432) Коцка Додекаедар {5,3} 76px 76px 12{5} 30 20{3} Ih[5,3](*532) Икосаедар Икосаедар {3,5} 76px 76px 20{3} 30 12{5} Ih[5,3](*532) Додекаедар
Сферни
У сферној геометрији, постоје правилни сферни полиедри (поплочавања сфере) који би иначе били дегенерисани као политопи. То су хозоедри {2,n} и њихови дуални диедри {n,2}. Коксетер назива ове случајеве „неправилним” поплочавањима.
Првих неколико случајева (n од 2 до 6) наведено је испод.
+ Хозоедри Назив Шлефли{2,p} Коксетеровасхема Слика(сфера) Стране{2}π/p Ивице Темена{p} Симетрија Дуал Дигонални хозоедар {2,2} 75px 2{2}π/2 2 2{2}π/2 D2h[2,2](*222) Себи Тригонални хозоедар {2,3} 75px 3{2}π/3 3 2{3} D3h[2,3](*322) Тригонални диедар Квадратни хозоедар {2,4} 75px 4{2}π/4 4 2{4} D4h[2,4](*422) Квадратни диедар Петоугаони хозоедар {2,5} 75px 5{2}π/5 5 2{5} D5h[2,5](*522) Петоугаони диедар Шестоугаони хозоедар {2,6} 75px 6{2}π/6 6 2{6} D6h[2,6](*622) Шестоугаони диедар
+ Диедри Назив Шлефли{p,2} Коксетеровасхема Слика(сфера) Стране{p} Ивице Темена{2} Симетрија Дуал Дигонални диедар {2,2} 75px 2{2}π/2 2 2{2}π/2 D2h[2,2](*222) Себи Тригонални диедар {3,2} 75px 2{3} 3 3{2}π/3 D3h[3,2](*322) Тригонални хозоедар Квадратни диедар {4,2} 75px 2{4} 4 4{2}π/4 D4h[4,2](*422) Квадратни хозоедар Петоугаони диедар {5,2} 75px 2{5} 5 5{2}π/5 D5h[5,2](*522) Петоугаони хозоедар Шестоугаони диедар {6,2} 75px 2{6} 6 6{2}π/6 D6h[6,2](*622) Шестоугаони хозоедар
Звездасти диедри и хозоедри и такође постоје за било који звездасти многоугао .
Звездасти Правилни звездасти полиедри се називају Кеплер-Поансоова тела и има их четири, заснованих на распоредима темена додекаедра {5,3} и икосаедра {3,5}:
Као сферна поплочавања, ови звездасти облици преклапају сферу више пута, што се назива њеном густином, која износи 3 или 7 за ове облике. Слике поплочавања приказују једну страну сферног многоугла жутом бојом.
Назив Слика(скелетна) Слика(пуна) Слика(сфера) Дијаграмстелације Шлефли иКоксетер Стране Ивице Теменатем. фиг. χ Густина Симетрија Дуал Мали звездасти додекаедар 80px 80px 80px 80px {5/2,5} 12{5/2}30px 30 12{5}30px −6 3 Ih[5,3](*532) Велики додекаедар Велики додекаедар 80px 80px 80px 80px {5,5/2} 12{5}30px 30 12{5/2}30px −6 3 Ih[5,3](*532) Мали звездасти додекаедар Велики звездасти додекаедар 80px 80px 80px 80px {5/2,3} 12{5/2}30px 30 20{3}30px 2 7 Ih[5,3](*532) Велики икосаедар Велики икосаедар 80px 80px 80px 80px {3,5/2} 20{3}30px 30 12{5/2}30px 2 7 Ih[5,3](*532) Велики звездасти додекаедар
Постоји бесконачно много неуспелих звездастих полиедара. Ово су такође сферна поплочавања са звездастим многоугловима у својим Шлефлијевим симболима, али не покривају сферу коначан број пута. Неки примери су {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2} и {3,7/3}.
Коси полиедри Правилни коси полиедри су генерализације скупа правилних полиедара које укључују могућност непланарних темених фигура.
За 4-димензионалне косе полиедре, Коксетер је понудио модификовани Шлефлијев симбол {l,m|n} за ове фигуре, са {l,m} који имплицира темену фигуру, m l-углова око темена, и -угаоне рупе. њихове темене фигуре су коси многоуглови, који цик-цак пролазе између две равни.
Правилни коси полиедри, представљени са {l,m|n}, прате ову једначину:
Четири од њих се могу видети у 4 димензије као подскуп страна четири правилна 4-политопа, делећи исти распоред темена и распоред ивица:
100px100px100px100px{4, 6 3}{6, 4 3}{4, 8 3}{8, 4 3}
4-политопи (полихори) Правилни 4-политопи са Шлефлијевим симболом имају ћелије типа , стране типа , ивичне фигуре , и темене фигуре . Темена фигура (4-политопа) је полиедар, виђен распоредом суседних темена око датог темена. За правилне 4-политопе, ова темена фигура је правилан полиедар.