мини|десно|Карл Фридрих Гаус 1828. године
У математици, диференцијална геометрија површи бави се диференцијалном геометријом глатких површи са различитим додатним структурама, најчешће Римановом метриком.
Површи су опсежно проучаване из различитих перспектива: спољашње, у односу на њихово утапање у Еуклидски простор, и унутрашње (интринсичне), које одражавају њихова својства одређена искључиво растојањем унутар површи мереним дуж кривих на површи. Један од основних истраживаних концепата је Гаусова кривина, коју је први дубински проучио Карл Фридрих Гаус, који је показао да је кривина унутрашње својство површи, независно од њеног изометријског утапања у Еуклидски простор.
Површи природно настају као графици функција пара променљивих, а понекад се појављују у параметарском облику или као геометријска места тачака повезана са просторним кривама. Важну улогу у њиховом проучавању имале су Лијеве групе (у духу Ерлангенског програма), наиме групе симетрија Еуклидске равни, сфере и хиперболичке равни. Ове Лијеве групе се могу користити за описивање површи константне Гаусове кривине; оне такође пружају суштински састојак у модерном приступу унутрашњој диференцијалној геометрији кроз конексије. С друге стране, спољашња својства која се ослањају на утапање површи у Еуклидски простор такође су опсежно проучавана. Ово је добро илустровано нелинеарним Ојлер-Лагранжовим једначинама у варијационом рачуну: иако је Ојлер развио једначине једне променљиве да би разумео геодезијске линије, дефинисане независно од утапања, једна од главних Лагранжових примена једначина са две променљиве била је на минималне површи, концепт који се може дефинисати само у смислу утапања.
Историја мини|Бернхард Риман (1826—1866) Запремине одређених квадрикa ротационих површи израчунао је Архимед. Развој рачуна у седамнаестом веку пружио је систематичнији начин њиховог израчунавања. Кривину општих површи први је проучавао Ојлер. Године 1760. доказао је формулу за кривину равног пресека површи, а 1771. разматрао је површи представљене у параметарском облику. Монж је поставио темеље њихове теорије у свом класичном мемоару L'application de l'analyse à la géometrie који се појавио 1795. године. Одлучујући допринос теорији површи дао је Гаус у два изузетна рада написана 1825. и 1827. године. Ово је означило нови отклон од традиције јер је Гаус први пут разматрао унутрашњу геометрију површи, својства која су одређена само геодезијским растојањима између тачака на површи независно од посебног начина на који је површ смештена у амбијентални Еуклидски простор. Крунски резултат, Гаусова Theorema Egregium, установио је да је Гаусова кривина унутрашња инваријанта, тј. инваријанта при локалним изометријама. Ову тачку гледишта проширио је на вишедимензионалне просторе Риман и то је довело до онога што је данас познато као Риманова геометрија. Деветнаести век био је златно доба за теорију површи, како са тополошке тако и са диференцијално-геометријске тачке гледишта, при чему се већина водећих геометара посветила њиховом проучавању. Дарбу је прикупио многе резултате у свом четворотомном трактату Théorie des surfaces (1887–1896).
Преглед Интуитивно је сасвим познато рећи да су лист биљке, површина чаше или облик лица закривљени на одређене начине, и да сви ови облици, чак и након занемаривања било каквих ознака, имају одређене геометријске карактеристике које разликују један од другог. Диференцијална геометрија површи бави се математичким разумевањем таквих феномена. Проучавање овог поља, које је започето у свом модерном облику у 18. веку, довело је до развоја вишедимензионалне и апстрактне геометрије, као што су Риманова геометрија и општа релативност.
Суштински математички објекат је регуларна површ. Иако конвенције варирају у њиховој прецизној дефиницији, оне чине општу класу подскупова тродимензионалног Еуклидског простора () који обухватају део познатог појма „површи”. Анализирањем класе кривих које леже на таквој површи, и степена до којег их површи приморавају да се закриве у , свакој тачки површи могу се придружити два броја, названа главне кривине. Њихов просек се назива средња кривина површи, а њихов производ Гаусова кривина.
Постоји много класичних примера регуларних површи, укључујући: познате примере као што су равни, цилиндри и сфере; минималне површи, које су дефинисане својством да им је средња кривина нула у свакој тачки. Најпознатији примери су катеноиди и хеликоиди, иако је откривено још много њих. Минималне површи се такође могу дефинисати својствима везаним за површину, са последицом да пружају математички модел за облик филмова сапунице када су разапети преко жичаног оквира; праволинијске површи, које су површи које имају најмање једну праву линију која пролази кроз сваку тачку; примери укључују цилиндар и хиперболоид (једног грана).
Изненађујући резултат Карла Фридриха Гауса, познат као Theorema Egregium, показао је да се Гаусова кривина површи, која по својој дефиницији има везе са тим како криве на површи мењају правце у тродимензионалном простору, заправо може мерити дужинама кривих које леже на површима заједно са угловима који настају када се две криве на површи пресецају. Терминолошки, ово каже да се Гаусова кривина може израчунати из прве фундаменталне форме (такође зване метрички тензор) површи. Друга фундаментална форма, насупрот томе, је објекат који кодира како се дужине и углови кривих на површи искривљују када се криве „одгурну” са површи.
Упркос мерењу различитих аспеката дужине и угла, прва и друга фундаментална форма нису независне једна од друге, и задовољавају одређена ограничења звана Гаус-Кодацијеве једначине. Главна теорема, често звана основна теорема диференцијалне геометрије површи, тврди да кад год два објекта задовољавају Гаус-Кодацијева ограничења, они ће настати као прва и друга фундаментална форма регуларне површи.
Користећи прву фундаменталну форму, могуће је дефинисати нове објекте на регуларној површи. Геодезијске линије су криве на површи које задовољавају одређену обичну диференцијалну једначину другог реда која је одређена првом фундаменталном формом. Оне су врло директно повезане са проучавањем дужина кривих; геодезијска линија довољно кратке дужине увек ће бити крива најкраће дужине на површи која повезује своје две крајње тачке. Дакле, геодезијске линије су фундаменталне за оптимизациони проблем одређивања најкраће путање између две дате тачке на регуларној површи.
Такође се може дефинисати паралелни транспорт дуж било које дате криве, који даје рецепт како деформисати тангентни вектор на површ у једној тачки криве у тангентне векторе у свим другим тачкама криве. Рецепт је одређен обичном диференцијалном једначином првог реда која је одређена првом фундаменталном формом.
Горе наведени концепти суштински имају везе са рачуном више променљивих. Гаус-Бонеова теорема је глобалнији резултат, који повезује Гаусову кривину површи са њеним тополошким типом. Она тврди да је просечна вредност Гаусове кривине потпуно одређена Ојлеровом карактеристиком површи заједно са њеном површином.
Свака регуларна површ је пример и Риманове многострукости и Риманове површи. Суштински сва теорија регуларних површи како је овде дискутована има генерализацију у теорији Риманових многострукости и њихових подмногострукости.
Регуларне површи у Еуклидском простору Дефиниција Интуитивно је јасно да је сфера глатка, док купа или пирамида, због свог врха или ивица, нису. Појам „регуларне површи” је формализација појма глатке површи. Дефиниција користи локалну репрезентацију површи путем пресликавања између Еуклидских простора. Постоји стандардни појам глаткости за таква пресликавања; пресликавање између два отворена подскупа Еуклидског простора је глатко ако његови парцијални изводи сваког реда постоје у свакој тачки домена.
Регуларна површ у Еуклидском простору је подскуп од такав да свака тачка од допушта било који од следећа три концепта: локалне параметризације, Монжове карте или имплицитне функције. Следећа табела даје дефиниције таквих објеката; Монжове карте су можда визуелно најинтуитивније, јер суштински кажу да је регуларна површ подскуп од који је локално график глатке функције (било над облашћу у равни, равни или равни).
мини|десно|усправно|Локална параметризација Монжовог облика за горњу хемисферу 2-сфере, добијена пројектовањем на -раван Објекти Дефиниција Локалне параметризације Отворена околина за коју постоји отворен подскуп од и хомеоморфизам такав да: , као функција , је бесконачно диференцијабилна (тј. глатка); за сваку тачку из , два парцијална извода и су линеарно независни као елементи од . Монжове карте Отворена околина за коју постоји отворен подскуп од и глатка функција таква да важи једно од следећег:
}. Имплицитне функције Отворена околина за коју постоји глатка функција са: } у свакој тачки од , најмање један парцијални извод од је различит од нуле. Хомеоморфизми који се појављују у првој дефиницији познати су као локалне параметризације или локални координатни системи или локалне карте на . Еквиваленција прве две дефиниције тврди да, око било које тачке на регуларној површи, увек постоје локалне параметризације облика , или , познате као Монжове карте. Функције као у трећој дефиницији називају се локалне дефинишуће функције. Еквиваленција све три дефиниције следи из теореме о имплицитној функцији.Lee "Introduction to Smooth Manifolds"
мини|десно|Промене координата између различитих локалних карата морају бити глатке Дате било које две локалне параметризације и регуларне површи, композиција је нужно глатка као пресликавање између отворених подскупова од . Ово показује да свака регуларна површ природно има структуру глатке многострукости, са глатким атласом који је дат инверзима локалних параметризација.
У класичној теорији диференцијалне геометрије, површи се обично проучавају само у регуларном случају. Међутим, такође је уобичајено проучавати нерегуларне површи, у којима два парцијална извода и локалне параметризације могу да не буду линеарно независни. У овом случају, може имати сингуларитете. Такве површи се типично проучавају у теорији сингуларитета. Други ослабљени облици регуларних површи јављају се у рачунарски подржаном дизајнирању (CAD), где се површ разбија на дисјунктне делове, при чему изводи локалних параметризација нису чак ни непрекидни дуж граница.
мини|усправно|Хиперболоид (двограни) мини|усправно|Торус мини|усправно|Хеликоид Једноставни примери. Једноставан пример регуларне површи дат је 2-сфером }; ова површ може бити покривена са шест Монжових карата (две од свака три типа наведена горе), узимајући . Такође може бити покривена са две локалне параметризације, користећи стереографску пројекцију. Скуп } је ротациони торус са полупречницима и . То је регуларна површ; локалне параметризације се могу дати у облику
Хиперболоид (двограни) } је регуларна површ; може се покрити са две Монжове карте, са . Хеликоид се појављује у теорији минималних површи. Покривен је једном локалном параметризацијом, .
Тангентни вектори и нормални вектори
Нека је регуларна површ у , и нека је елемент од . Користећи било коју од горњих дефиниција, могу се издвојити одређени вектори у као тангентни на у , и одређени вектори у као ортогонални (или нормални) на у .
Објекти коришћени у дефиницији Вектор у је тангентан на у ако... Вектор у је нормалан на у ако... Локалне параметризације ... дата било која локална параметризација са , је линеарна комбинација и ... је ортогоналан на сваки тангентни вектор на у Монжове карте ... за било коју Монжову карту чији опсег укључује , важи
са парцијалним изводима израчунатим у тачки . Аналогна дефиниција важи у случају Монжових карата друга два облика. ... за било коју Монжову карту чији опсег укључује , је умножак од како је израчунато у тачки . Аналогна дефиниција важи у случају Монжових карата друга два облика. Имплицитне функције ... за било коју локалну дефинишућу функцију чији домен садржи , је ортогоналан на ... за било коју локалну дефинишућу функцију чији домен садржи , је умножак од