мини|десно|Слика 1: Решење (љубичасто) Аполонијевог проблема. Задати кругови су приказани црном бојом.
мини|десно|Слика 2: Четири комплементарна пара решења Аполонијевог проблема; задати кругови су црни.
У еуклидској геометрији равни, Аполонијев проблем је конструкција кругова који су тангентни на три задата круга у равни (Слика 1). Аполоније из Перге () поставио је и решио овај чувени проблем у свом делу (, „Додири”); ово дело је изгубљено, али је извештај о његовим резултатима из 4. века нове ере, који је написао Папус, сачуван. Три задата круга генерички имају осам различитих кругова који су тангентни на њих (Слика 2), пар решења за сваки начин поделе три задата круга у два подскупа (постоје 4 начина да се скуп кардиналности 3 подели на 2 дела).
У 16. веку, Адријан ван Ромен је решио проблем користећи пресеке хипербола, али ово решење користи методе које нису ограничене на конструкције лењиром и шестаром. Франсоа Вијет је пронашао решење помоћу лењира и шестара искоришћавањем граничних случајева: било који од три задата круга може се смањити на нулти полупречник (тачку) или проширити на бесконачни полупречник (праву). Вијетов приступ, који користи једноставније граничне случајеве за решавање сложенијих, сматра се веродостојном реконструкцијом Аполонијеве методе. Методу Ван Ромена поједноставио је Исак Њутн, који је показао да је Аполонијев проблем еквивалентан проналажењу позиције на основу разлика њених растојања до три познате тачке. Ово има примену у навигационим и системима за позиционирање као што је LORAN.
Каснији математичари увели су алгебарске методе, које геометријски проблем трансформишу у алгебарске једначине. Ове методе су поједностављене искоришћавањем симетрија инхерентних Аполонијевом проблему: на пример, кругови решења се генерички јављају у паровима, при чему једно решење обухвата задате кругове које друго искључује (Слика 2). Жозеф Дијаз Жергон искористио је ову симетрију да пружи елегантно решење лењиром и шестаром, док су други математичари користили геометријске трансформације попут инверзије у односу на круг да поједноставе конфигурацију задатих кругова. Ови развоји пружају геометријски оквир за алгебарске методе (користећи Лијеву геометрију сфере) и класификацију решења према 33 суштински различите конфигурације задатих кругова.
Аполонијев проблем подстакао је много даљег рада. Проучавана су уопштења на три димензије — конструкција сфере тангентне на четири задате сфере — и више. Конфигурација три међусобно тангентна круга добила је посебну пажњу. Рене Декарт је дао формулу која повезује полупречнике кругова решења и задатих кругова, данас познату као Декартова теорема. Итеративно решавање Аполонијевог проблема у овом случају води до Аполонијеве мреже, која је један од најранијих фрактала описаних у штампи, и важна је у теорији бројева преко Фордових кругова и Харди-Литлвудовог кружног метода.
Поставка проблема
Општа поставка Аполонијевог проблема је конструкција једног или више кругова који су тангентни на три задата објекта у равни, при чему објекат може бити права, тачка или круг било које величине. Ови објекти могу бити распоређени на било који начин и могу се пресецати; међутим, обично се узима да су различити, што значи да се не поклапају. Решења Аполонијевог проблема понекад се називају Аполонијеви кругови, иако се тај термин користи и за друге типове кругова повезаних са Аполонијем.
Својство тангентности (додира) дефинише се на следећи начин. Прво, тачка, права или круг се сматрају тангентним сами на себе; стога, ако је задати круг већ тангентан на друга два задата објекта, он се рачуна као решење Аполонијевог проблема. За два различита геометријска објекта каже се да се секу ако имају заједничку тачку. По дефиницији, тачка је тангентна на круг или праву ако их пресеца, то јест, ако лежи на њима; дакле, две различите тачке не могу бити тангентне. Ако је угао између правих или кругова у тачки пресека нула, каже се да су тангентни; тачка пресека назива се тачка додира или тачка тангенције. У пракси, два различита круга су тангентна ако се секу у само једној тачки; ако се секу у нула или две тачке, нису тангентни. Исто важи и за праву и круг. Две различите праве не могу бити тангентне у равни, иако се две паралелне праве могу сматрати тангентним у бесконачној тачки у инверзивној геометрији (види испод поглавље Инверзивне методе).
Круг решења може бити или интерно (изнутра) или екстерно (споља) тангентан на сваки од задатих кругова. Екстерни додир је онај где се два круга савијају један од другог у тачки контакта; леже на супротним странама тангентне праве у тој тачки и искључују један другог. Растојање између њихових центара једнако је збиру њихових полупречника. Насупрот томе, интерни додир је онај у којем се два круга криве на исти начин у тачки контакта; два круга леже на истој страни тангентне праве, а један круг обухвата други. У овом случају, растојање између њихових центара једнако је разлици њихових полупречника. Као илустрација, на Слици 1, ружичасти круг решења је интерно тангентан на средњи црни задати круг десно, док је екстерно тангентан на најмањи и највећи задати круг лево.
Аполонијев проблем се такође може формулисати као проблем лоцирања једне или више тачака таквих да су разлике њихових растојања до три задате тачке једнаке трима познатим вредностима. Размотримо круг решења полупречника rs и три задата круга полупречника r1, r2 и r3. Ако је круг решења екстерно тангентан на сва три задата круга, растојања између центра круга решења и центара задатих кругова једнака су , и , респективно. Стога су разлике ових растојања константе, као што је ; оне зависе само од познатих полупречника задатих кругова, а не од полупречника rs круга решења, који се поништава. Ова друга формулација Аполонијевог проблема може се уопштити на интерно тангентне кругове решења (за које је растојање центар-центар једнако разлици полупречника), променом одговарајућих разлика растојања у збирове растојања, тако да се полупречник круга решења rs поново поништава. Реформулација у смислу растојања центар-центар корисна је у решењима испод Адријана ван Ромена и Исака Њутна, као и у хиперболичком позиционирању или трилатерацији, што је задатак лоцирања позиције на основу разлика у растојањима до три познате тачке. На пример, навигациони системи као што је LORAN идентификују позицију пријемника на основу разлика у временима доласка сигнала са три фиксне позиције, што одговара разликама у растојањима до тих предајника.
Историја
Развијен је богат репертоар геометријских и алгебарских метода за решавање Аполонијевог проблема, који је назван „најпознатијим од свих” проблема геометрије. Оригинални приступ Аполонија из Перге је изгубљен, али реконструкције су понудили Франсоа Вијет и други, на основу трагова у опису Папуса из Александрије. Прву нову методу решавања објавио је 1596. године Адријан ван Ромен, који је идентификовао центре кругова решења као тачке пресека две хиперболе. Ван Роменову методу усавршио је 1687. године Исак Њутн у свом делу Principia, као и Џон Кејси 1881. године..
Иако успешна у решавању Аполонијевог проблема, метода Ван Ромена има недостатак. Цењено својство у класичној еуклидској геометрији је могућност решавања проблема коришћењем само шестара и лењира. . Многе конструкције су немогуће коришћењем само ових алата, као што је подела угла на три једнака дела. Међутим, многи такви „немогући” проблеми могу се решити пресецањем кривих као што су хиперболе, елипсе и параболе (конусни пресеци). На пример, удвостручење коцке (проблем конструкције коцке двоструко веће запремине од задате коцке) не може се урадити само лењиром и шестаром, али је Менехмо показао да се проблем може решити коришћењем пресека две параболе. Стога, Ван Роменово решење — које користи пресек две хиперболе — није утврдило да ли проблем задовољава својство конструкције лењиром и шестаром.
Ван Роменов пријатељ Франсоа Вијет, који је првобитно подстакао Ван Ромена да ради на Аполонијевом проблему, развио је методу која је користила само шестар и лењир. Пре Вијетовог решења, Региомонтан је сумњао да се Аполонијев проблем може решити лењиром и шестаром. Вијет је прво решио неке једноставне специјалне случајеве Аполонијевог проблема, као што је проналажење круга који пролази кроз три задате тачке (што има само једно решење ако су тачке различите); затим је наставио са решавањем сложенијих специјалних случајева, у неким случајевима смањивањем или повећавањем задатих кругова. Према извештају Папуса из 4. века, Аполонијева сопствена књига о овом проблему — насловљена (, „Додири”; латински: De tactionibus, De contactibus) — следила је сличан прогресивни приступ. Стога се Вијетово решење сматра веродостојном реконструкцијом Аполонијевог решења, иако су друге реконструкције независно објавила три различита аутора.Simson R (1734) Mathematical Collection, volume VII, p. 117.
Неколико других геометријских решења Аполонијевог проблема развијено је у 19. веку. Најзначајнија решења су она Жан-Виктора Понселеа (1811) и Жозефа Дијаза Жергона (1814). Док се Понселеов доказ ослања на хомотетичне центре кругова и теорему о потенцији тачке, Жергонова метода користи конјуговани однос између правих и њихових полова у кругу. Методе које користе инверзију круга пионирски је увео Јулијус Петерсен 1879. године; један пример је метода ануларног решења Х. С. М. Коксетера. Други приступ користи Лијеву геометрију сфере, коју је развио Софус Ли.
Алгебарска решења Аполонијевог проблема су у 17. веку пионирски увели Рене Декарт и принцеза Елизабета од Чешке, иако су њихова решења била прилично сложена. Практичне алгебарске методе развили су крајем 18. и у 19. веку неколико математичара, укључујући Леонарда Ојлера, Reprinted in Euler's Opera Omnia, series 1, , Николаса Фуса, Карла Фридриха Гауса, . Лазара Карноа, и Огистена Луја Кошија.
Методе решавања
Пресецање хипербола
мини|десно|Слика 3: Два задата круга (црна) и круг који додирује оба (розе). Растојања центар-центар d1 и d2 једнака су и , респективно, тако да је њихова разлика независна од rs.
Решење Адријана ван Ромена (1596) заснива се на пресеку две хиперболе. Нека су задати кругови означени као C1, C2 и C3. Ван Ромен је решио општи проблем решавањем једноставнијег проблема, проналажењем кругова који су тангентни на два задата круга, као што су C1 и C2. Приметио је да центар круга тангентног на оба задата круга мора лежати на хиперболи чији су фокуси центри задатих кругова. Да бисмо ово разумели, нека су полупречници круга решења и два задата круга означени као rs, r1 и r2, респективно (Слика 3). Растојање d1 између центара круга решења и C1 је или или , у зависности од тога да ли су ови кругови изабрани да буду екстерно или интерно тангентни. Слично, растојање d2 између центара круга решења и C2 је или или , поново у зависности од њихове изабране тангентности. Дакле, разлика између ових растојања је увек константа независна од rs. Ово својство, постојање фиксне разлике између растојања до фокуса, карактерише хиперболе, тако да могући центри круга решења леже на хиперболи. Друга хипербола може се нацртати за пар задатих кругова C2 и C3, при чему интерни или екстерни додир решења и C2 треба изабрати доследно са оним код прве хиперболе. Пресек ове две хиперболе (ако постоји) даје центар круга решења који има изабране интерне и екстерне додире са три задата круга. Потпуни скуп решења Аполонијевог проблема може се наћи разматрањем свих могућих комбинација интерног и екстерног додира круга решења са три задата круга.
Исак Њутн (1687) је усавршио Ван Роменово решење, тако да су центри кругова решења лоцирани на пресецима праве са кругом. Њутн формулише Аполонијев проблем као проблем у трилатерацији: лоцирати тачку Z на основу три задате тачке A, B и C, тако да разлике у растојањима од Z до три задате тачке имају познате вредности. Ове четири тачке одговарају центру круга решења (Z) и центрима три задата круга (A, B и C).
мини|лево|Скуп тачака са константним односом растојања d1/d2 до две фиксне тачке је круг.