мини|Сер Вилијам Роуан Хамилтон
У физици, Хамилтонова механика је реформулација Лагранжеве механике која се појавила 1833. године. Увео ју је сер Вилијам Роуан Хамилтон, и Хамилтонова механика замењује (уопштене) брзине коришћене у Лагранжевој механици са (уопштеним) импулсима. Обе теорије пружају интерпретације класичне механике и описују исте физичке појаве.
Хамилтонова механика има блиску везу са геометријом (посебно са симплектичком геометријом и Поасоновим структурама) и служи као веза између класичне и квантне механике.
Преглед Координате фазног простора (p, q) и Хамилтонијан H Нека је механички систем са конфигурационим простором и глатким Лагранжијаном Изаберимо стандардни координатни систем на тангентном свежњу Величине се називају импулсима. (Такође уопштени импулси, коњуговани импулси и канонски импулси). За тренутак времена Лежандрова трансформација функције се дефинише као пресликавање за које се претпоставља да има глатки инверз За систем са степени слободе, Лагранжева механика дефинише функцију енергије
Лежандрова трансформација функције претвара у функцију познату као . Хамилтонијан задовољава
што имплицира да је
где се брзине налазе из (-димензионалне) једначине која је, по претпоставци, јединствено решива за . Пар (-димензионални) назива се координатама фазног простора. (Такође и канонским координатама).
Од Ојлер-Лагранжове једначине до Хамилтонових једначина У координатама фазног простора , (-димензионална) Ојлер-Лагранжова једначина
постаје Хамилтонове једначине у димензија
Од принципа стационарног дејства до Хамилтонових једначина Нека је скуп глатких путања за које важи и Функционал дејства дефинисан је преко
где је , и (погледати изнад). Путања је стационарна тачка функционала (и стога је једначина кретања) ако и само ако путања у координатама фазног простора задовољава Хамилтонове једначине.
Основна физичка интерпретација
Једноставна интерпретација Хамилтонове механике долази из њене примене на једнодимензионални систем који се састоји од једне нерелативистичке честице масе . Вредност Хамилтонијана је укупна енергија система, у овом случају збир кинетичке и потенцијалне енергије, традиционално означених са и , респективно. Овде је импулс , а је просторна координата. Тада је
је функција само , док је функција само (тј., и су склерономне).
У овом примеру, временски извод координате је брзина, па тако прва Хамилтонова једначина значи да је брзина честице једнака изводу њене кинетичке енергије по импулсу. Временски извод импулса једнак је Њутновој сили, па друга Хамилтонова једначина значи да је сила једнака негативном градијенту потенцијалне енергије.
Пример
Сферно клатно се састоји од масе m која се креће без трења по површини сфере. Једине силе које делују на масу су реакција подлоге (сфере) и гравитација. Сферне координате се користе за описивање положаја масе преко , где је фиксно, . мини|300x300px|Сферно клатно: углови и брзине. Лагранжијан за овај систем је
Тако је Хамилтонијан
где је
и
Преко координата и импулса, Хамилтонијан гласи
Хамилтонове једначине дају временску еволуцију координата и коњугованих импулса кроз четири диференцијалне једначине првог реда,
Импулс , који одговара вертикалној компоненти угаоног момента , је константа кретања. То је последица ротационе симетрије система око вертикалне осе. Пошто није присутан у Хамилтонијану, азимут је циклична координата, што имплицира очување његовог коњугованог импулса.
Извођење Хамилтонових једначина Хамилтонове једначине се могу извести рачуном који укључује Лагранжијан , уопштене координате и уопштене брзине , где је .Ово извођење следи приступ дат у Овде радимо ван љуске (енгл. off-shell), што значи да су , и независне координате у фазном простору, нису ограничене да следе било какве једначине кретања (посебно, није извод од ). Тотални диференцијал Лагранжијана је:
Координате уопштеног импулса су дефинисане као , па можемо преписати једначину као:
Након преуређивања, добија се:
Израз у загради на левој страни је управо Хамилтонијан дефинисан раније, па следи:
Такође се може израчунати тотални диференцијал Хамилтонијана у односу на координате , и уместо , и , што даје:
Сада можемо изједначити ова два израза за , један преко , а други преко :
Пошто су ови прорачуни ван љуске (off-shell), можемо изједначити одговарајуће коефицијенте уз , и са обе стране:
На љуски (on-shell), замењујемо параметарске функције које дефинишу путању у фазном простору са брзинама , поштујући Лагранжове једначине:
Преуређивањем и писањем у смислу функција на љуски добијамо:
Тако су Лагранжове једначине еквивалентне Хамилтоновим једначинама:
У случају када и не зависе од времена, тј. , Хамилтонове једначине се састоје од диференцијалних једначина првог реда, док се Лагранжове једначине састоје од једначина другог реда. Хамилтонове једначине обично не смањују тежину проналажења експлицитних решења, али из њих се могу извести важни теоријски резултати, јер су координате и импулси независне променљиве са готово симетричним улогама.
Хамилтонове једначине имају још једну предност у односу на Лагранжове једначине: ако систем поседује симетрију, тако да се нека координата не појављује у Хамилтонијану (тј. то је циклична координата), одговарајући импулс се очувава дуж сваке путање, и та координата се може свести на константу у осталим једначинама система. Ово ефективно редукује проблем са координата на координата: ово је основа симплектичке редукције у геометрији. У Лагранжевом оквиру, очување импулса такође следи одмах, међутим све уопштене брзине се и даље појављују у Лагранжијану, те се систем једначина у координата и даље мора решавати.
Лагранжев и Хамилтонов приступ пружају основу за дубље резултате у класичној механици, и сугеришу аналогне формулације у квантној механици: формулацију интеграла путање и Шредингерову једначину.
Својства Хамилтонијана Вредност Хамилтонијана је укупна енергија система ако и само ако функција енергије има исто својство. (Видети дефиницију ). када , чине решење Хамилтонових једначина. Заиста, и све осим последњег члана се поништава. се не мења при тачкастим трансформацијама, тј. глатким променама просторних координата. (Следи из инваријантности функције енергије при тачкастим трансформацијама. Инваријантност се може утврдити директно). (Видети ). . (Упоредите Хамилтонове и Ојлер-Лагранжове једначине или погледајте ). ако и само ако је .Координата за коју важи последња једначина назива се циклична (или игнорисана). Свака циклична координата смањује број степени слободе за , узрокује да се одговарајући импулс очува, и чини Хамилтонове једначине лакшим за решавање.
Хамилтонијан као укупна енергија система У примени на дати систем, Хамилтонијан се често узима као
где је кинетичка енергија, а потенцијална енергија. Коришћење ове релације може бити једноставније него прво израчунати Лагранжијан, а затим извести Хамилтонијан из Лагранжијана. Међутим, ова релација није тачна за све системе.
Релација важи за нерелативистичке системе када су испуњени сви следећи услови
где је време, је број степени слободе система, а свако је произвољна скаларна функција од .
Речима, ово значи да релација важи ако не садржи време као експлицитну променљиву (он је склерономан), не садржи уопштену брзину као експлицитну променљиву, а сваки члан функције је квадратан по уопштеној брзини.
Доказ Пре самог доказа, важно је осврнути се на двосмисленост у повезаној математичкој нотацији. Иако се смена променљивих може користити да би се изједначило , важно је приметити да је . У овом случају, десна страна се увек евалуира као 0. Да би се извршила промена променљивих унутар парцијалног извода, требало би користити правило ланца за више променљивих. Стога, да би се избегла двосмисленост, треба навести аргументе функције сваког члана унутар парцијалног извода.
Додатно, овај доказ користи нотацију да би имплицирао да је .
Примена на системе тачкастих маса За систем тачкастих маса, услов да је квадратна функција у односу на уопштену брзину је увек испуњен за случај када је , што је свакако захтев да би важило .
Очување енергије Ако су услови за задовољени, онда очување Хамилтонијана имплицира очување енергије. Ово захтева додатни услов да не садржи време као експлицитну променљиву.
Укратко, услови који морају бити испуњени да би важило за нерелативистички систем су
је хомогена квадратна функција по
Што се тиче проширења Ојлер-Лагранжове формулације која користе функције дисипације (погледати ), нпр. Рејлијева функција дисипације, енергија није очувана када функција дисипације има ефекат. Могуће је објаснити везу између овога и претходних захтева повезујући проширене и конвенционалне Ојлер-Лагранжове једначине: груписање проширених чланова у потенцијалну функцију производи потенцијал који зависи од брзине. Због тога захтеви нису испуњени када функција дисипације делује.
Хамилтонијан наелектрисане честице у електромагнетном пољу
Довољно добра илустрација Хамилтонове механике дата је преко Хамилтонијана наелектрисане честице у електромагнетном пољу. У Декартовим координатама Лагранжијан нерелативистичке класичне честице у електромагнетном пољу је (у СИ јединицама):
где је наелектрисање честице, је електрични скаларни потенцијал, а су компоненте магнетног векторског потенцијала које све могу експлицитно зависити од и .
Овај Лагранжијан, у комбинацији са Ојлер-Лагранжовим једначинама, даје закон за Лоренцову силу
и назива се минимално купловање.
Канонски импулси су дати са:
Хамилтонијан, као Лежандрова трансформација Лагранжијана, стога је:
Ова једначина се често користи у квантној механици.
При баждарној трансформацији:
где је било која скаларна функција простора и времена. Поменути Лагранжијан, канонски импулси и Хамилтонијан трансформишу се као:
што и даље производи исту Хамилтонову једначину:
У квантној механици, таласна функција ће такође проћи кроз локалну U(1) групну трансформацију током баждарне трансформације, што имплицира да сви физички резултати морају бити инваријантни на локалне U(1) трансформације.
Од симплектичке геометрије до Хамилтонових једначина
Геометрија Хамилтонових система
Хамилтонијан може индуковати симплектичку структуру на глаткој многострукости парне димензије на неколико еквивалентних начина, од којих је најпознатији следећи:
Као затворена недегенерисана симплектичка форма 2-форма ω. Према Дарбуовој теореми, у малој околини око било које тачке на постоје одговарајуће локалне координате (канонске координате или симплектичке координате) у којима симплектичка форма постаје:
Форма индукује природни изоморфизам тангентног простора са котангентним простором: . То се ради пресликавањем вектора у 1-форму , где је за све . Због билинеарности и недегенерисаности форме , и чињенице да је , пресликавање је заиста линеарни изоморфизам. Овај изоморфизам је природан у смислу да се не мења приликом промене координата на Понављањем преко свих , добија се изоморфизам између бесконачно-димензионалног простора глатких векторских поља и простора глатких 1-форми. За свако и ,
Ако је , тада, за свако фиксирано , , и . је познато као Хамилтоново векторско поље. Одговарајућа диференцијална једначина на
назива се . Овде је а је (временски зависна) вредност векторског поља у .
Хамилтонов систем може се разумети као свежањ над временом , са влакном које представља простор положаја у тренутку . Лагранжијан је тако функција на џет свежњу над ; узимање Лежандрове трансформације дуж влакна Лагранжијана производи функцију на дуалном свежњу над временом чије је влакно у котангентни простор , који долази опремљен природном симплектичком формом, а ова последња функција је Хамилтонијан.