мини|Хиперелиптична крива дефинисана са има само коначан број рационалних тачака (као што су тачке и ) према Фалтингсовој теореми.

У математици, аритметичка геометрија је отприлике примена техника из алгебарске геометрије на проблеме у теорији бројева. Аритметичка геометрија је усредсређена око Диофантове геометрије, проучавања рационалних тачака алгебарских варијетета.

У апстрактнијем смислу, аритметичка геометрија може се дефинисати као проучавање шема коначног типа над спектром прстена целих бројева.

Преглед Класични објекти од интереса у аритметичкој геометрији су рационалне тачке: скупови решења система полиномских једначина над бројевним пољима, коначним пољима, -адичким пољима или функционалним пољима, тј. поља која нису алгебарски затворена, искључујући реалне бројеве. Рационалне тачке се могу директно окарактерисати функцијама висине које мере њихову аритметичку сложеност.

Структура алгебарских варијација дефинисаних над неалгебарски затвореним пољима постала је централно подручје интересовања које је настало са модерним апстрактним развојем алгебарске геометрије. Над коначним пољима, еталска кохомологија пружа тополошке инваријанте повезане са алгебарским варијацијама. -адична Хоџова теорија даје алате за испитивање када се кохомолошка својства варијација над комплексним бројевима протежу на она над -адичним пољима.

Историја

19. век: рана аритметичка геометрија Почетком 19. века, Карл Фридрих Гаус је приметио да постоје целобројна решења хомогених полиномских једначина са рационалним коефицијентима, различита од нуле, ако постоје рационална решења, различита од нуле.

Током 1850-их, Леополд Кронекер је формулисао Кронекер-Веберову теорему, увео теорију делилаца и направио бројне друге везе између теорије бројева и алгебре. Затим је изнео претпоставку о свом „liebster Jugendtraum“ („најдражи сан младости“), генерализацији коју је касније Хилберт изнео у модификованом облику као свој дванаести проблем, који истиче циљ да теорија бројева функционише само са прстеновима који су количници полиномских прстенова над целим бројевима.

Од почетка до средине 20. века: алгебарски развој и Вајлове претпоставке Крајем 1920-их, Андре Вајл је показао дубоке везе између алгебарске геометрије и теорије бројева својим докторским радом који је довео до Мордел-Вајлове теореме која показује да је скуп рационалних тачака Абелове варијететности коначно генерисана Абелова група.. Reprinted in Volume 1 of his collected papers, .

Модерне основе алгебарске геометрије развијене су на основу савремене комутативне алгебре, укључујући теорију вредновања и теорију идеала, од стране Оскара Зариског и других током 1930-их и 1940-их.

Године 1949, Андре Вајл је поставио прекретничке Вајлове претпоставке о локалним зета-функцијама алгебарских варијетета над коначним пољима. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil Ове претпоставке су понудиле оквир између алгебарске геометрије и теорије бројева који је подстакао Александра Гротендика да преобликује темеље користећи теорију снопова (заједно са Жан-Пјером Сером), а касније и теорију шема, током 1950-их и 1960-их. Бернард Дворк је доказао једну од четири Вајлове претпоставке (рационалност локалне зета функције) 1960. године. Гротендик је развио теорију еталних кохомологија како би доказао две Вајлове претпоставке (заједно са Мајклом Артином и Жан-Лујем Вердјеом) до 1965. године. Последњу Вајлову претпоставку (аналог Риманове хипотезе) коначно је доказао Пјер Делињ 1974. године.

Средина до краја 20. века: развој модуларности, -адских метода и даље Између 1956. и 1957. године, Јутака Танијама и Горо Шимура поставили су Танијама-Шимурину претпоставку (сада познату као теорема модуларности) која повезује елиптичне криве са модуларним формама. Ова веза ће на крају довести до првог доказа Фермаове последње теореме у теорији бројева кроз технике алгебарске геометрије подизања модуларности које је развио Ендру Вајлс 1995. године.

Шездесетих година 20. века, Горо Шимура је представио Шимурине варијетете као генерализације модуларних кривих. Од 1979. године, Шимурине варијетете су играле кључну улогу у Ленгландсовом програму као природно царство примера за тестирање претпоставки.

У радовима из 1977. и 1978. године, Бери Мазур је доказао торзиону претпоставку дајући комплетну листу могућих торзионих подгрупа елиптичних кривих над рационалним бројевима. Мазуров први доказ ове теореме зависио је од комплетне анализе рационалних тачака на одређеним модуларним кривим. Године 1996, доказ торзионе претпоставке проширио је на сва бројевна поља Лоик Мерел.

Године 1983, Герд Фалтингс је доказао Морделову претпоставку, показујући да крива рода већег од 1 има само коначан број рационалних тачака (где Мордел-Вајлова теорема показује само коначну генерацију скупа рационалних тачака, а не коначност).

Почетак 21. века Године 2001, доказ локалних Ленгландсових претпоставки за био је заснован на геометрији одређених Шимуриних варијетета.

Током 2010-их, Петер Шолце је развио перфектоидне просторе и нове теорије кохомологије у аритметичкој геометрији над -адичним пољима са применом на Галоове репрезентације и одређене случајеве претпоставке о тежинској монодромији.

Види још

Анабелова геометрија Аритметичка динамика Теорија категорија Фробениоид Сигелова модуларна сорта Сигелова теорема о интегралним тачкама

Референце

Литература

Категорија:Аритметичка геометрија