У функционалној анализи и сродним областима математике, метризабилан (одн. псеудометризабилан) тополошки векторски простор (ТВП) је ТВП чија је топологија индукована метриком (одн. псеудометриком). ЛМ-простор је индуктивни лимес низа локално конвексних метризабилних ТВП-а.
Псеудометрике и метрике
Псеудометрика на скупу је пресликавање које задовољава следећа својства: ; Симетрија: ; Субадитивност:
Псеудометрика се назива метриком ако задовољава: Идентитет неразазнатљивих: за све ако је онда је
Ултрапсеудометрика
Псеудометрика на се назива ултрапсеудометриком или јаком псеудометриком ако задовољава: Јака/Ултраметричка неједнакост троугла:
Псеудометрички простор
Псеудометрички простор је пар који се састоји од скупа и псеудометрике на такве да је топологија на идентична топологији на индукованој са Псеудометрички простор називамо метричким простором (одн. ултрапсеудометричким простором) када је метрика (одн. ултрапсеудометрика).
Топологија индукована псеудометриком
Ако је псеудометрика на скупу , онда колекција отворених кугли: када узима вредности из и узима вредности из позитивних реалних бројева, чини базу за топологију на која се назива -топологија или псеудометричка топологија на индукована са
: Ако је псеудометрички простор и се посматра као тополошки простор, онда уколико није другачије назначено, треба претпоставити да је снабдевен топологијом индукованом са
Псеудометризабилан простор
Тополошки простор се назива псеудометризабилним (одн. метризабилним, ултрапсеудометризабилним) ако постоји псеудометрика (одн. метрика, ултрапсеудометрика) на таква да је једнако топологији индукованој са
Псеудометрике и вредности на тополошким групама
Адитивна тополошка група је адитивна група снабдевена топологијом, која се назива топологија групе, под којом сабирање и негирање постају непрекидни оператори.
Топологија на реалном или комплексном векторском простору се назива векторска топологија или ТВП топологија ако чини операције векторског сабирања и множења скаларом непрекидним (односно, ако чини тополошким векторским простором).
Сваки тополошки векторски простор (ТВП) је адитивна комутативна тополошка група, али нису све топологије групе на векторске топологије. Разлог томе је што, упркос томе што чини сабирање и негирање непрекидним, топологија групе на векторском простору можда неће учинити множење скаларом непрекидним. На пример, дискретна топологија на било ком нетривијалном векторском простору чини сабирање и негирање непрекидним, али не чини множење скаларом непрекидним.
Инваријантна псеудометрика у односу на транслацију
Ако је адитивна група, онда кажемо да је псеудометрика на инваријантна у односу на транслацију или само инваријантна ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова: Инваријантност на транслацију: ;
Вредност/Г-семинорма
Ако је тополошка група, онда је вредност или Г-семинорма на (слово Г означава Групу) реално пресликавање са следећим својствима: Ненегативност: Субадитивност: ;
Симетричност:
при чему Г-семинорму називамо Г-нормом ако задовољава додатни услов: Тоталност/Позитивна дефинитност: Ако је онда је
Својства вредности
Ако је вредност на векторском простору , онда: и за све и позитивне целе бројеве Скуп је адитивна подгрупа од
Еквиваленција на тополошким групама
Псеудометризабилне тополошке групе
Инваријантна псеудометрика која не индукује векторску топологију
Нека је нетривијалан (тј. ) реални или комплексни векторски простор и нека је инваријантна тривијална метрика у односу на транслацију на дефинисана са и такве да је Топологија коју индукује на је дискретна топологија, која чини комутативном тополошком групом у односу на сабирање, али формира векторску топологију на јер је неповезан, док је свака векторска топологија повезана. Оно што не важи јесте да множење скаларом није непрекидно на
Овај пример показује да инваријантна (псеудо)метрика у односу на транслацију довољна да гарантује векторску топологију, што нас води ка дефинисању паранорми и Ф-семинорми.
Адитивни низови
Колекција подскупова векторског простора назива се адитивном ако за сваки постоји неки такав да је
Сви горенаведени услови су стога неопходни да би топологија формирала векторску топологију. Адитивни низови скупова имају посебно лепо својство да дефинишу ненегативне непрекидне реалне субадитивне функције. Ове функције се затим могу користити за доказивање многих основних својстава тополошких векторских простора, а такође и за показивање да је Хаусдорфов ТВП са пребројивом базом околина метризабилан. Следећа теорема важи општије за комутативне адитивне тополошке групе.
Претпоставимо да увек означава коначан низ ненегативних целих бројева и користимо нотацију:
За било које целе бројеве и
Из овога следи да ако се састоји од различитих позитивних целих бројева, онда је
Сада ће бити показано индукцијом по да ако се састоји од ненегативних целих бројева таквих да је за неки цео број , онда је Ово је очигледно тачно за и па претпоставимо да је што имплицира да су сви позитивни. Ако су сви различити, онда је овај корак готов, а иначе изаберимо различите индексе такве да је и конструишимо од тако што ћемо сваки заменити са и обрисати -ти елемент из (сви остали елементи из се преносе у непромењени). Приметимо да је и (јер ) па позивајући се на индуктивну хипотезу закључујемо да је што смо и желели.
Јасно је да је и да је , па да бисмо доказали да је субадитивна, довољно је доказати да је када су такви да је што имплицира да Ово је вежба за читаоца. Ако су сви симетрични, онда ако и само ако , из чега следи да је и Ако су сви уравнотежени, онда се неједнакост за све јединичне скаларе такве да је доказује на сличан начин. Пошто је ненегативна субадитивна функција која задовољава као што је описано у чланку о сублинеарним функционалима, је равномерно непрекидна на ако и само ако је непрекидна у координатном почетку. Ако су сви околине координатног почетка, онда за сваки реални број бирамо цео број такав да је , тако да имплицира Ако скуп свих чини базу уравнотежених околина координатног почетка, онда се може показати да за сваки постоји неки такав да имплицира
Паранорме
Ако је векторски простор над пољем реалних или комплексних бројева, онда је паранорма на Г-семинорма (претходно дефинисана) на која задовољава било који од следећих додатних услова, од којих сваки почиње са „за све низове у и све конвергентне низове скалара ”: Непрекидност множења: ако су скалар и такви да и онда Оба услова: ако и ако је такав да , онда ; ако , онда за сваки скалар Оба услова: ако и за неки скалар , онда ; ако , онда Засебна непрекидност: ако за неки скалар , онда за свако ; ако је скалар, и , онда .
Паранорма се назива тоталном ако додатно задовољава: Тоталност/Позитивна дефинитност: имплицира
Својства паранорми
Ако је паранорма на векторском простору , онда је пресликавање дефинисано са инваријантна псеудометрика у односу на транслацију на која дефинише на
Ако је паранорма на векторском простору , онда: скуп је векторски потпростор од са Ако паранорма задовољава и скаларе онда је апсолутно хомогена (тј. важи једнакост) па је стога семинорма.
Примери паранорми
Ако је инваријантна псеудометрика на векторском простору која индукује векторску топологију на (тј. је ТВП), онда пресликавање дефинише непрекидну паранорму на ; штавише, топологија коју ова паранорма дефинише у је Ако је паранорма на , онда је и пресликавање Сваки позитиван скаларни умножак паранорме (одн. тоталне паранорме) је поново таква паранорма (одн. тотална паранорма). Свака семинорма је паранорма. Рестрикција паранорме (одн. тоталне паранорме) на векторски потпростор је паранорма (одн. тотална паранорма). Збир две паранорме је паранорма. Ако су и паранорме на , онда је и Штавише, и Ово чини скуп паранорми на условно комплетном мрежом. Свако од следећих реалних пресликавања је паранорма на :
Реална пресликавања и паранорме на Ако је Хамелова база векторског простора онда реално пресликавање које шаље (где су сви осим коначно много скалара једнаки 0) у јесте паранорма на која задовољава за све и скаларе Функција је паранорма на која уравнотежена, али је ипак еквивалентна уобичајеној норми на Приметимо да је функција субадитивна. Нека је комплексни векторски простор и нека означава посматран као векторски простор над Било која паранорма на је такође паранорма на
Ф-семинорме
Ако је векторски простор над пољем реалних или комплексних бројева, онда је Ф-семинорма на (слово означава Фрешеа) реално пресликавање са следећа четири својства: Ненегативност: Субадитивност: за све Уравнотеженост: за све скаларе који задовољавају Овај услов гарантује да је сваки скуп облика или за неко уравнотежен скуп. За свако када Низ се може заменити било којим позитивним низом који конвергира ка нули.
Ф-семинорма се назива Ф-нормом ако додатно задовољава: Тоталност/Позитивна дефинитност: имплицира
Ф-семинорма се назива монотоном ако задовољава: Монотоност: за све ненулте и све реалне бројеве и такве да је
Ф-семинормирани простори Ф-семинормирани простор (одн. Ф''-нормирани простор) је пар који се састоји од векторског простора и Ф-семинорме (одн. Ф-норме) на
Ако су и Ф-семинормирани простори, онда се пресликавање назива изометријским утапањем ако је
Свако изометријско утапање једног Ф-семинормираног простора у други је тополошко утапање, али обрнуто генерално није тачно.
Примери Ф-семинорми
Сваки позитиван скаларни умножак Ф-семинорме (одн. Ф-норме, семинарме) је поново Ф-семинорма (одн. Ф-норма, семинарма). Збир коначно много Ф-семинорми (одн. Ф-норми) је Ф-семинорма (одн. Ф-норма). Ако су и Ф-семинорме на онда је и њихов супремум по тачкама Исто важи и за супремум било које непразне коначне фамилије Ф-семинорми на Рестрикција Ф-семинорме (одн. Ф-норме) на векторски потпростор је Ф-семинорма (одн. Ф-норма). Ненегативна реална функција на је семинарма ако и само ако је конвексна Ф-семинорма, или еквивалентно, ако и само ако је конвексна уравнотежена Г-семинорма. Посебно, свака семинорма је Ф-семинорма. За сваки пресликавање на дефинисано са
је Ф-норма која није норма. Ако је линеарно пресликавање и ако је Ф-семинорма на онда је Ф-семинорма на Нека је комплексни векторски простор и нека означава посматран као векторски простор над Било која Ф-семинорма на је такође Ф-семинорма на
Својства Ф-семинорми
Свака Ф-семинорма је паранорма и свака паранорма је еквивалентна некој Ф-семинорми. Свака Ф-семинорма на векторском простору је вредност на Посебно, и за све
Топологија индукована једном Ф-семинормом
Топологија индукована фамилијом Ф-семинорми
Претпоставимо да је непразна колекција Ф-семинорми на векторском простору и за сваки коначан подскуп и свако нека је
Скуп чини базу филтера на која такође чини базу околина у координатном почетку за векторску топологију на означену са Сваки је уравнотежен и апсорбујући подскуп од Ови скупови задовољавају
је најгрубља векторска топологија на која чини свако непрекидним. је Хаусдорфова ако и само ако за свако ненулто постоји неко такво да је Ако је скуп свих непрекидних Ф-семинорми на онда је Ако је скуп свих супремума по тачкама непразних коначних подскупова од из онда је усмерена фамилија Ф-семинорми и
Фрешеова комбинација
Претпоставимо да је фамилија ненегативних субадитивних функција на векторском простору
Фрешеова комбинација од је дефинисана као реално пресликавање
Као Ф-семинорма
Претпоставимо да је растући низ семинарми на и нека је Фрешеова комбинација од Тада је Ф-семинорма на која индукује исту локално конвексну топологију као и фамилија семинарми
Пошто је растући, база отворених околина координатног почетка састоји се од свих скупова облика када узима вредности из свих позитивних целих бројева и узима вредности из свих позитивних реалних бројева.
Инваријантна псеудометрика у односу на транслацију на индукована овом Ф-семинормом је