У математици, геометријска теорија инваријаната (или ГТИ) је метод за конструисање количника преко дејстава група у алгебарској геометрији, који се користи за конструисање простора модула. Развио ју је Дејвид Мамфорд 1965. године, користећи идеје из рада у класичној теорији инваријаната.

Геометријска теорија инваријаната проучава дејство групе на алгебарски варијетет (или шему) и пружа технике за формирање „количника” са као шеме са разумним својствима. Једна од мотивација била је конструкција простора модула у алгебарској геометрији као количника шема које параметризују означене објекте. Током 1970-их и 1980-их година теорија је развила интеракције са симплектичком геометријом и еквиваријантном топологијом, и коришћена је за конструисање простора модула објеката у диференцијалној геометрији, као што су инстантони и монополи.

Позадина

Теорија инваријаната се бави дејством групе групе на алгебарски варијетет (или шему) . Класична теорија инваријаната решава ситуацију када је векторски простор и је или коначна група, или једна од класичних Лијевих група која линеарно делује на . Ово дејство индукује линеарно дејство на простор полиномских функција на формулом

Полиномске инваријанте -дејства на су оне полиномске функције на које су фиксиране под „променом променљивих” услед дејства групе, тако да је за свако у . Оне формирају комутативну алгебру , а ова алгебра се тумачи као алгебра функција на „количнику теорије инваријаната” јер било која од ових функција даје исту вредност за све тачке које су еквивалентне (односно, за свако ). На језику модерне алгебарске геометрије,

Неколико потешкоћа произилази из овог описа. Прва, коју је успешно решио Хилберт у случају опште линеарне групе, јесте да се докаже да је алгебра коначно генерисана. Ово је неопходно ако се жели да количник буде афини алгебарски варијетет. Да ли слична чињеница важи за произвољне групе био је предмет Хилбертовог четрнаестог проблема, а Нагата је показао да је одговор генерално негативан. Са друге стране, током развоја теорије репрезентација у првој половини двадесетог века, идентификована је велика класа група за које је одговор позитиван; оне се називају редуктивне групе и укључују све коначне групе и све класичне групе.

Коначно генерисање алгебре је само први корак ка потпуном опису алгебре , а напредак у решавању овог осетљивијег питања био је прилично скроман. Инваријанте су класично биле описане само у ограниченом спектру ситуација, а сложеност овог описа изван првих неколико случајева давала је мало наде за потпуно разумевање алгебри инваријаната уопште. Штавише, може се десити да било која полиномска инваријанта узима исту вредност на датом пару тачака и у , а ипак те тачке припадају различитим орбитама -дејства. Једноставан пример пружа мултипликативна група не-нултих комплексних бројева која делује на -димензионални комплексни векторски простор скаларним множењем. У овом случају, свака полиномска инваријанта је константа, али постоји много различитих орбита дејства. Нулти вектор чини орбиту сам за себе, а не-нулти умношци било ког не-нултог вектора чине орбиту, тако да су не-нулте орбите параметризоване тачкама комплексног пројективног простора . Ако се ово деси (различите орбите имају исте вредности функција), каже се да „инваријанте не раздвајају орбите”, а алгебра прилично несавршено одражава тополошки количнички простор . Заиста, овај други простор, са количничком топологијом, често није раздвојен (није Хаусдорфов простор). (Ово је случај у нашем примеру – нулта орбита није отворена јер било која околина нултог вектора садржи тачке у свим другим орбитама, тако да у количничкој топологији свака околина нулте орбите садржи све друге орбите.) Године 1893, Хилберт је формулисао и доказао критеријум за одређивање оних орбита које нису раздвојене од нулте орбите инваријантним полиномима. Занимљиво је да, за разлику од његовог ранијег рада у теорији инваријаната, који је довео до брзог развоја апстрактне алгебре, овај Хилбертов резултат остао је мало познат и мало коришћен наредних 70 година. Већи део развоја теорије инваријаната у првој половини двадесетог века односио се на експлицитна израчунавања са инваријантама, и у сваком случају, следио је логику алгебре пре него геометрије.

Мамфордова књига

Геометријску теорију инваријаната је утемељио и развио Мамфорд у монографији, први пут објављеној 1965. године, која је применила идеје теорије инваријаната из деветнаестог века, укључујући и неке резултате Давида Хилберта, на питања модерне алгебарске геометрије. (Књига је знатно проширена у два каснија издања, са додатним додацима од стране Фогартија и Мамфорда, и поглављем о симплектичким количницима од стране Франсес Кирван.) Књига користи и теорију шема и рачунарске технике доступне у примерима.

Апстрактно окружење које се користи је оно дејства групе на шему . Једноставна идеја о простору орбита

тј. количнички простор под дејством групе, наилази на потешкоће у алгебарској геометрији, из разлога који су објашњиви апстрактним терминима. У ствари, не постоји општи разлог зашто би релације еквиваленције требало добро да комуницирају са (прилично крутим) регуларним функцијама (полиномским функцијама), које су у основи алгебарске геометрије. Функције на простору орбита које треба узети у обзир су оне на које су инваријантне под дејством . Директан приступ се може направити путем поља функција варијетета (тј. рационалних функција): узимањем G-инваријантних рационалних функција на њему, као поља функција количничког варијетета. Нажалост, ово — са тачке гледишта бирационалне геометрије — може дати само прву апроксимацију одговора. Како је Мамфорд рекао у предговору књиге:Проблем је што у оквиру скупа свих модела резултујуће бирационалне класе, постоји један модел чије геометријске тачке класификују скуп орбита у неком дејству, или скуп алгебарских објеката у неком проблему модула.

У поглављу 5 он даље изолује специфични технички проблем који се разматра, у проблему модула сасвим класичног типа — класификовати велики „скуп” свих алгебарских варијетета под условом да су само несингуларни (и неопходан услов о поларизацији). Модули би требало да описују простор параметара. На пример, за алгебарске криве познато је још од времена Римана да би требало да постоје компоненте повезаности димензија

према роду , а модули су функције на свакој компоненти. У грубом проблему модула Мамфорд сматра да су препреке следеће:

нераздвојена топологија на простору модула (тј. нема довољно параметара са добрим својствима) бесконачно много нерастављивих компоненти (што није избежно, али може важити локална коначност) неуспех компоненти да буду репрезентабилне као шеме, иако су тополошки репрезентабилне.

Трећа тачка је мотивисала целу теорију. Како Мамфорд наводи, ако се прве две потешкоће реше [треће питање] постаје суштински еквивалентно питању да ли постоји простор орбита неког локално затвореног подскупа Хилбертове или Чоуових шема под дејством пројективне групе.

Да би се изборио са овим, увео је појам (у ствари три) стабилности. Ово му је омогућило да отвори раније опасно подручје — много је писано, посебно од стране Франческа Северија, али методе у литератури су имале ограничења. Бирационална тачка гледишта може себи приуштити да буде непажљива према подскуповима кодимензије 1. Имати простор модула као шему је с једне стране питање карактеризације шема као репрезентабилних функтора (како би то видела Гротендикова школа); али геометријски то је више налик питању компактификације, као што су критеријуми стабилности показали. Рестрикција на несингуларне варијетете неће довести до компактног простора ни у ком смислу као простора модула: варијетети могу дегенерисати и добити сингуларитете. С друге стране, тачке које би одговарале високо сингуларним варијететима су дефинитивно превише „лоше” да би се укључиле у одговор. Права златна средина, тачака довољно стабилних да буду примљене, изолована је Мамфордовим радом. Концепт није био потпуно нов, будући да су одређени његови аспекти пронађени у последњим идејама Давида Хилберта о теорији инваријаната, пре него што је прешао на друга поља.

Предговор књиге је такође изнео Мамфордову конјектуру, коју је касније доказао Вилијам Хабуш.

Стабилност

Ако редуктивна група линеарно делује на векторски простор , онда се не-нулта тачка из назива: нестабилном ако је 0 у затворењу њене орбите, полустабилном ако 0 није у затворењу њене орбите, стабилном ако је њена орбита затворена, а њен стабилизатор коначан.

Постоје еквивалентни начини да се ово искаже (овај критеријум је познат као Хилберт—Мамфордов критеријум): Не-нулта тачка је нестабилна ако и само ако постоји 1-параметарска подгрупа од чије су све тежине у односу на позитивне. Не-нулта тачка је нестабилна ако и само ако сваки инваријантни полином има исту вредност на 0 и . Не-нулта тачка је полустабилна ако и само ако не постоји 1-параметарска подгрупа од чије су све тежине у односу на позитивне. Не-нулта тачка је полустабилна ако и само ако неки инваријантни полином има различите вредности на 0 и . Не-нулта тачка је стабилна ако и само ако свака 1-параметарска подгрупа од има позитивне (и негативне) тежине у односу на . Не-нулта тачка је стабилна ако и само ако за свако које није у орбити постоји неки инваријантни полином који има различите вредности на и , а прстен инваријантних полинома има степен трансценденције .

Тачка одговарајућег пројективног простора над назива се нестабилном, полустабилном или стабилном ако је она слика тачке из са истим својством. „Нестабилно” је супротно од „полустабилно” (а не од „стабилно”). Нестабилне тачке чине Зарискијев затворен скуп пројективног простора, док полустабилне и стабилне тачке чине Зарискијеве отворене скупове (могуће празне). Ове дефиниције су из и нису еквивалентне онима из првог издања Мамфордове књиге.

Многи простори модула се могу конструисати као количници простора стабилних тачака неког подскупа пројективног простора према дејству неке групе. Ови простори се често могу компактификовати додавањем одређених класа еквиваленције полустабилних тачака. Различите стабилне орбите одговарају различитим тачкама у количнику, али две различите полустабилне орбите могу одговарати истој тачки у количнику ако се њихова затворења секу.

Пример: Стабилна крива је редукована повезана крива рода ≥2 таква да су њени једини сингуларитети обичне двоструке тачке и свака несингуларна рационална компонента сече остале компоненте у најмање 3 тачке. Простор модула стабилних кривих рода је количник подскупа Хилбертове шеме кривих у са Хилбертовим полиномом према групи .

Пример: Векторско раслојење над алгебарском кривом (или над Римановом површином) је стабилно векторско раслојење ако и само ако

за сва права не-нулта подраслојења од и полустабилно је ако овај услов важи са < замењеним са ≤.

Види још ГТИ количник Геометријска теорија сложености Геометријски количник Категоријски количник Квантизација комутира са редукцијом K-стабилност K-стабилност Фаноових варијетета Бриџлендов услов стабилности Стабилност (алгебарска геометрија)

Литература

Kirwan, Frances, Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry. Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i+211 pp. Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie. Aspects of Mathematics, D1. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. x+308 pp.

; (1. изд. 1965); (2. изд.) V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariant theory, у Algebraic geometry. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (преведено са руског издања из 1989) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi+284 pp. 

Категорија:Теорија модула Категорија:Теорија шема Категорија:Алгебарске групе Категорија:Теорија инваријаната