У филозофији математике, формализам је гледиште које сматра да се тврдње математике и логике могу посматрати као тврдње о последицама манипулације нискама (алфанумеричким низовима симбола, обично у виду једначина) коришћењем утврђених правила манипулације. Централна идеја формализма „јесте да математика није скуп пропозиција које представљају апстрактни сектор стварности, већ је много сличнија игри, не доносећи са собом никакву већу обавезу према онтологији објеката или својстава него што то чине „не љути се човече” или шах.”

Према формализму, математичке тврдње не говоре „о” бројевима, скуповима, троугловима или било којим другим математичким објектима на начин на који физичке тврдње говоре о материјалним објектима. Уместо тога, оне су чисто синтаксички изрази — формални низови симбола којима се манипулише према експлицитним правилима без инхерентног значења. Ови симболички изрази добијају интерпретацију (или семантику) тек када одлучимо да им је доделимо, слично као што шаховске фигуре прате правила кретања не представљајући ентитете из стварног света. Ово гледиште је у оштрој супротности са математичким реализмом, који сматра да математички објекти заиста постоје у неком апстрактном царству.

Формализам се појавио као одговор на кризе у темељима математике током касног деветнаестог и раног двадесетог века, посебно због забринутости око парадокса у теорији скупова и питања о конзистентности математичких система. Он представља један од три главна филозофска приступа математици развијена у овом периоду, уз логицизам и интуиционизам, иако формализам обухвата шири спектар позиција од ових уже дефинисаних гледишта. Међу формалистима, немачки математичар Давид Хилберт био је најутицајнији заговорник, развивши оно што је постало познато као Хилбертов програм за успостављање конзистентности математике кроз чисто формалне методе.

Рани формализам Рани математички формалисти покушавали су „да блокирају, избегну или заобиђу (на неки начин) било какву онтолошку обавезу према проблематичном царству апстрактних објеката.” Немачки математичари Едуард Хајне и Карл Јоханес Томе сматрају се раним заговорницима математичког формализма. Формализам Хајнеа и Томеа може се пронаћи у критикама Готлоба Фрегеа у књизи Основе аритметике.

Према Алану Виру, формализам Хајнеа и Томеа који Фреге напада може се „описати као формализам термина или формализам игара”. Формализам термина је гледиште да се математички изрази односе на симболе, а не на бројеве. Хајне је ово гледиште изразио на следећи начин: „Када је реч о дефиницији, заузимам чисто формалну позицију, у којој одређене опипљиве знакове називам бројевима, тако да постојање ових бројева није доведено у питање.”

Томе је окарактерисан као формалиста игара који је тврдио да је „[з]а формалисту, аритметика игра са знаковима који се називају празним. То значи да они немају никакав други садржај (у игри рачунања) осим оног који им је додељен њиховим понашањем у односу на одређена правила комбиновања (правила игре).”

Фреге износи три критике формализма Хајнеа и Томеа: „да [формализам] не може објаснити примену математике; да меша формалну теорију са метатеоријом; [и] да не може пружити кохерентно објашњење концепта бесконачног низа.” Фрегеова критика Хајнеовог формализма је да његов формализам не може објаснити бесконачне низове. Дамет тврди да би развијенији прикази формализма од Хајнеовог могли да избегну Фрегеове замерке тврдећи да се баве апстрактним симболима, а не конкретним објектима. Фреге се противи поређењу формализма са игром, као што је шах. Фреге тврди да Томеов формализам не прави разлику између игре и теорије.

Хилбертов формализам мини|Давид Хилберт

Главна фигура формализма био је Давид Хилберт, чији је програм требало да буде потпуна и конзистентна аксиоматизација целокупне математике. Хилберт је имао за циљ да покаже конзистентност математичких система полазећи од претпоставке да је „финитарна аритметика” (подсистем уобичајене аритметике позитивних целих бројева, изабрана да буде филозофски неконтроверзна) конзистентна (тј. да се из система не могу извести никакве контрадикције).

Начин на који је Хилберт покушао да покаже да је аксиоматски систем конзистентан био је његово формализовање коришћењем одређеног језика. Да би се формализовао аксиоматски систем, прво се мора изабрати језик на којем се операције могу изразити и извршити унутар тог система. Овај језик мора укључивати пет компоненти:

Мора укључивати променљиве као што је x, које могу представљати неки број. Мора имати квантификаторе као што је симбол за постојање објекта. Мора укључивати једнакост. Мора укључивати везнике као што је ↔ за „ако и само ако”. Мора укључивати одређене недефинисане термине који се називају параметрима. За геометрију, ови недефинисани термини могу бити нешто попут тачке или праве, за које такође бирамо симболе.

Усвајањем овог језика, Хилберт је сматрао да се све теореме могу доказати унутар било ког аксиоматског система користећи само саме аксиоме и изабрани формални језик.

Закључак Гедела у његовим теоремама о непотпуности био је да се конзистентност не може доказати унутар било ког конзистентног аксиоматског система који је довољно богат да укључује класичну аритметику. С једне стране, мора се користити искључиво формални језик одабран за формализацију тог аксиоматског система; са друге стране, немогуће је доказати конзистентност тог језика самог по себи. Хилберт је првобитно био фрустриран Геделовим радом јер је уништио његов животни циљ да потпуно формализује све у теорији бројева. Међутим, Гедел није сматрао да је противречио свему у вези са Хилбертовим формалистичким гледиштем. Након што је Гедел објавио свој рад, постало је очигледно да теорија доказа и даље има неку примену, једина разлика је у томе што се није могла користити за доказивање конзистентности целокупне теорије бројева као што се Хилберт надао.

Хилберт је у почетку био дедуктивиста, али је сматрао да одређене метаматематичке методе дају суштински значајне резултате и био је реалиста у погледу финитарне аритметике. Касније је заступао мишљење да не постоји никаква друга смислена математика, без обзира на интерпретацију.

Даљи развој Други формалисти, попут Рудолфа Карнапа, сматрали су математику проучавањем система формалних аксиома.

Хаскел Кари дефинише математику као „науку о формалним системима”. Каријев формализам се разликује од формализма термина, формализма игара или Хилбертовог формализма. За Карија, математички формализам се односи на формалну структуру математике, а не на логички систем. Стјуарт Шапиро описује Каријев формализам као приступ који полази од „историјске тезе да како се одређена грана математике развија, она постаје све ригорознија у својој методологији, при чему је крајњи резултат кодификација те гране у формалне дедуктивне системе.”

Критика Курт Гедел је указао на једну од слабих тачака формализма бавећи се питањем конзистентности у аксиоматским системимима.

Бертранд Расел је тврдио да формализам не успева да објасни шта се подразумева под лингвистичком применом бројева у тврдњама као што је „у соби су три мушкарца”.Bertrand Russell My Philosophical Development, 1959, ch. X.

Види још Пројекат QED Формализована математика Логички систем

Референце

Спољашње везе

Категорија:Филозофија математике