Теорія Фредгольма — розділ теорії інтегральних рівнянь; у вузькому сенсі — вивчає інтегральні рівняння Фредгольма, у широкому — абстрактна структура теорії дається в термінах спектральної теорії фредгольмових операторів і фредгольмових ядер у гільбертовому просторі.
Названо на честь основного розробника — шведського математика Еріка Івара Фредгольма.
Однорідні рівняння Більша частина теорії Фредгольма стосується знаходження розв'язків інтегрального рівняння:
.
Це рівняння природно виникає у багатьох задачах фізики та математики, як обернення диференціального рівняння. Тобто ставиться задача розв'язати диференціальне рівняння:
,
де функція — задана, а — невідома. Тут — лінійний диференціальний оператор. Наприклад, можна взяти за еліптичний оператор:
,
у такому разі розв'язуване рівняння стає рівнянням Пуассона. Загальний метод розв'язання таких рівнянь полягає в тому, щоб у вигляді функцій Гріна, тобто, не діючи безпосередньо, спробувати розв'язати рівняння:
,
де — дельта-функція Дірака. Далі:
.
Цей інтеграл написаний у формі інтегрального рівняння Фредгольма. Функція відома як функція Гріна, або ядро інтеграла.
У загальній теорії, і можуть належати будь-якому многовиду; у найпростіших випадках — дійсній прямій або -вимірному евклідовому простору. Загальна теорія також часто вимагає, щоб функції належали до заданого функціонального простору: часто, простору або простору Соболєва.
Фактично використовуваний функціональний простір часто визначається в розв'язанні задачі на власні значення диференціального оператора; тобто за розв'язками:
,
де — власні значення, а — власні вектори. Множина власних векторів утворює банахів простір, а там, де існує природний скалярний добуток, то й гільбертів простір, у якому має місце теорема Ріса. Прикладами таких просторів є ортогональні многочлени, які зустрічаються у вигляді розв'язків класу звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.
Якщо задати гільбертів простір, то ядро можна записати у формі:
,
де — двоїстий до . У такій формі об'єкт часто називають оператором Фредгольма або ядром Фредгольма. Те, що це те саме ядро, випливає з повноти базису гільбертового простору, а саме:
.
Оскільки зазвичай зростає, то власні значення оператора спадають до нуля.
Неоднорідні рівняння Неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма:
можна написати формально як:
.
Тоді формальний розв'язок:
.
Розв'язок у цій формі відомий як резольвентний формалізм, де резольвенту визначено як оператор
.
Заданого набору власних векторів та власних значень можна зіставити резольвенту конкретного вигляду:
з розв'язком:
.
Необхідна і достатня умова існування такого розв'язку — одна з . Резольвента зазвичай розкладається в ряд за степенями , у такому разі вона відома як ряд Ліувілля — Неймана. Тоді інтегральне рівняння записується як:
Резольвента записується в альтернативній формі:
.
Визначник Фредгольма Визначник Фредгольма зазвичай визначають як:
,
де , і так далі. Відповідна дзета-функція:
Дзета-функцію можна розглядати як визначник резольвенти. Дзета-функція відіграє важливу роль у вивченні динамічних систем; це той самий загальний тип дзета-функції, як і дзета-функція Рімана, проте в разі теорії Фредгольма відповідне ядро невідоме. Існування цього ядра відоме як гіпотеза Гільберта — Пої.
Основні результати Класичні результати цієї теорії — це теореми Фредгольма, одна з яких — альтернатива Фредгольма.
Одним із важливих результатів загальної теорії є те, що вказане ядро — це компактний оператор, де простір функцій — це простір рівностепенево неперервних функцій.
Визначним спорідненим результатом є теорема про індекс, що стосується індексу еліптичних операторів на компактних многовидах.
Історія Стаття Фредгольма 1903 року в Acta Mathematica — одна з найважливіших віх у створенні теорії операторів. Давид Гільберт розвинув поняття гільбертового простору, зокрема у зв'язку з дослідженням інтегральних рівнянь Фредгольма.
Посилання E. I. Fredholm, «Sur une classe d'equations fonctionnelles», Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365—390. D. E. Edmunds and WD Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 . B. V. Kvedelidze, G. L. Літвінов (2001), «Фредолм кернел», в Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Bruce K. Driver, Compact and Fredholm Operators and Spectral Theorem, Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600. Robert C. McOwen, " Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds ", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.
Джерела