Рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова () — рівняння в загальній теорії відносності й астрофізиці, яке описує структуру сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, що перебуває в статичній гравітаційній рівновазі. Названо на честь Річарда Толмена, Роберта Оппенгеймера і Джорджа Волкова.
Загальний вигляд Рівняння має вигляд:
де:
— радіальна координата і — густина й тиск матеріалу на радіусі — загальна маса в межах радіуса .
Рівняння виведено з рівнянь Ейнштейна для стаціонарної сферично симетричної метрики. Для розв'язку рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова ця метрика має вигляд
де визначається формулою
Якщо доповнити рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова рівнянням стану, , яке пов'язує густину з тиском, то ці два рівняння повністю визначать структуру рівноважного сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу. Якщо знехтувати членами порядку , рівняння Толмена — Оппенгеймера — Волкова перетворюється на рівняння гідростатичної рівноваги, яке використовують для знаходження рівноважної структури сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, коли релятивістські ефекти не важливі.
Якщо рівняння використовують для моделювання обмеженої кулі у вакуумі, граничні умови мають вигляд і . Перша умова означає нульовий тиск на поверхні, а друга умова накладається так, що метрика на поверхні неперервно переходить в метрику Шварцшильда:
Загальна маса — це загальна маса, що міститься всередині радіуса , виміряна за створюваним нею гравітаційним полем. Вона задовольняє умові і розраховується з рівняння
Виміряна за створюваним гравітаційним полем загальна маса об'єкта , обмеженого максимальним радіусом , дорівнює
З іншого боку, обчислення маси шляхом інтегрування густини об'єкта по його об'єму дає більше значення:
Різниця між цими двома величинами є від'ємною,
,
Це гравітаційна енергія зв'язку об'єкта, поділена на .
Виведення із загальної теорії відносності Припустімо статичну, сферично симетричну ідеальну рідину. Компоненти метрики подібні до компонентів метрики Шварцшильда:
Згідно з припущенням ідеальної рідини, тензор енергії напруження є діагональним (у сферичній системі координат) з наступними власними значеннями густини енергії та тиску:
,
.
Тут — густина рідини, а — її тиск.
Далі шукаємо розв'язок рівняння поля Ейнштейна:
Спочатку розглядаємо компонент :
Інтегруючи цей вираз від 0 до , отримуємо
,
де є таким, як визначено в попередньому розділі. Далі розглядаємо компонент . Для нього знаходимо:
.
Цей вираз можна спростити, використовуючи формулу для :
Ми отримуємо друге рівняння, вимагаючи неперервності тензора енергії-напруження: . Завдяки статичності і ізотропії , отримуємо
Перестановка членів дає:
Це дає два вирази, які обидва містять . Усунувши , отримуємо:
Винесши множник і переставивши множники 2 і , отримуємо рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова: {|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
Історія Річард Толмен проаналізував сферично симетричні метрики в 1934 і 1939 роках. Наведена тут форма рівняння була виведена Робертом Оппенгеймером і Джорджем Волковим у їхній статті 1939 року «Про масивні нейтронні ядра». У цій статті рівняння стану для виродженого фермі-газу нейтронів було використано для розрахунку верхньої межі ~0,7 сонячні маси для гравітаційної маси нейтронної зорі. Оскільки це рівняння стану нереалістичне для нейтронної зорі, ця гранична маса також є невірною. Використовуючи спостереження гравітаційних хвиль від злиття подвійних нейтронних зір (наприклад, GW170817) і подальшу інформацію від електромагнітного випромінювання (кілонова), було показано, що максимальна маса нейтронної зорі (так звана межа Толмена — Опенгеймера — Волкова) близька до 2,17 маси Сонця. Попередні оцінки цієї межі коливаються від 1,5 до 3,0 мас Сонця.
Постньютонівське наближення У постньютонівському наближенні, тобто для гравітаційного поля, яке лише трохи відрізняється від ньютонівського поля, рівняння можна розкласти за степенями . Тоді рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова дає:
Див. також Межа Толмена — Опенгеймера — Волкова
Примітки