Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.
Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.
У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.
Функції однієї змінної Нехай функція визначена в деякому околі точки і нехай . Функція називається диференційовною в точці (), якщо приріст можна представити у вигляді: . де: — стала. При фіксованій A не залежить від ; але коли відбувається зміна , A змінюється також, при . Лінійна функція (від ) називається диференціалом функції в точці і позначається , або, коротше .
Таким чином: при , .
Властивості Для того, аби функція була диференційовна в деякій точці , необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку: .
Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.
Функції багатьох змінних Відображення називається диференційовним в точці якщо існує лінійне відображення , що залежить від точки , таке що
або . Лінійне відображення називається диференціалом відображення в точці .
Якщо відображення задано за допомогою функцій
то матриця диференціала — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним
Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження. Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці. Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція
для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною. Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною. Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці
Див. також
Похідна Інтегровна функція Часткова похідна Похідна за напрямком Точка зламу
Джерела