Ряд Лорана — двостороннійДвостророннім називають степеневий ряд, що містить доданки як додатнього, так і від'ємного степеня. степеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Веєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:

,

де члени ряду an визначаються за формулою:

.

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить у кільці і містить точку с.

Властивості

Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

.

Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

.

Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

.

У своєму кільці збіжності ряд Лорана збігається абсолютно.

Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).

Теорема Лорана

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади

Знайти розклад в ряд Лорана в точці функції

.

Спочатку відзначимо

.

Далі,

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно ,

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z — i:

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції .

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші членів вихідної прогресії:

Примітки

Джерела