Спінор — двокомпонентна математична конструкція, за допомогою якої описуються частинки з напівцілим спіном.
На відміну від скаляра, спінор має дві компоненти, одна з яких відповідає спіну 1/2, а інша спіну -1/2. Вони позначаються та і записуються в стовпчик
Конструкція називається спінором.
При повороті системи координат компоненти спінора зв'язані лінійним співвідношенням
або
.
— матриця перетворення, а її елементи a, b, c, d — комплексні числа.
Білінійна форма , де та — два спінори, що перетворюються при повороті системи координат як: ,
тобто ця форма перетворюється сама в себе. Отже, детермінант матриці перетворення повинен дорівнювати одиниці .
Додаткові умови на елементи матриці перетворення є наслідком того, що вираз
задає ймовірність перебування частинки в точці простору, тож повинна бути скаляром. Отже, перетворення повинно бути унітарним. Тоді .
Враховуючи всі ці співвідношення, серед чотирьох комплексних чисел a, b, c, d всього три незалежні дійсні змінні, якраз стільки, щоб ними можна було описати поворот в тривимірному просторі.
В релятивістській квантовій механіці, де окрім просторових поворотів враховуються також перетворення Лоренца використовуються складніші чотирикомпонентні конструкції — біспінори.
Поворот навколо осі z При повороті навколо осі z на кут матриця перетворення задається формулою ,
де — z-ва складова оператора спіну, — матриця Паулі, — зведена стала Планка, — кут повороту.
При дії цієї матриці на стан із спіном +1/2
Таким чином при повороті на кут спінор міняє свій знак.
Див. також Рівняння Дірака Теорема Атії — Зінгера про індекс Ферміон Дірака
Джерела