Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору в скалярне поле , що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:
скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа чи комплексні числа .
Білінійна форма називається спряженою до форми і позначається .
Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.
Скалярний добуток на є прикладом білінійної форми..
Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється .
Якщо — поле комплексних чисел , тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є . Координатне представлення Нехай — -вимірний векторний простір з базисом .
Матрицю розмірності , елементи якої визначаються як , називають матрицею білінійної форми у базисі .
Якщо — матриця представляє вектор у цьому базисі, аналогічно відповідає іншому вектору , то
де — квадратна матриця з елементами .
Якщо деякий інший базис в , де — невироджена матриця, то
Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:
Відображення у спряжений простір Будь-яка білінійна форма на просторі визначає пару лінійних відображень з простору у спряжений до нього простір . Визначимо як
Часто ці відображення позначається як
де вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).
Для скінченновимірного векторного простору , якщо будь-яке з відображень або є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму називають . Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом: для усіх передбачає, що i для усіх передбачає, що
Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з на є множенням на 2.
Якщо простір — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір з двічі спряженим простором . Можна показати, що відображення є лінійного відображення (якщо простір нескінченновимірний, то — транспонування , обмежене образом простору у просторі ). Для заданого відображення можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином
Лівий і правий радикали білінійної форми є ядрами відображень і , відповідно; вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.
Якщо простір — скінченновимірний, тоді ранг відображення дорівнює рангу відображення . Якщо це значення дорівнює , тоді відображення і є лінійними ізоморфізмами з простору у простір . У цьому випадку білінійна форма є невиродженою. За це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості: Означення: Відображення є невиродженим, якщо з умови , яка виконується для всіх , випливає, що .
Для будь-якого лінійного відображення можна отримати білінійну форму у просторі як
Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення є ізоморфізмом.
Якщо простір є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору , білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма над полем цілих чисел.
Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми Визначаємо білінійну форму як , якщо для всіх ; , якщо для всіх ; кососиметричну, якщо для всіх . Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною. Доведення: Це можна побачити, розписавши . Якщо характеристика поля не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо , то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.
Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при ).
Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення рівні (), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком ((). Якщо , то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:
де — відображення транспоноване до (визначене вище).
Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо : або .
Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.
Симетрична білінійна форма Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.
Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.
Маючи білінійну форму (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
І навпаки, маючи квадратичну форму , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
Закон інерції
Похідна квадратична форма Для будь-якої білінійної форми існує асоційована квадратична форма , визначена як .
Якщо , то квадратична форма визначається симетричною частиною білінійної форми і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.
Якщо і , то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.
Рефлексивність та ортогональність Означення: Білінійна форма називається рефлексивною, якщо із випливає, що і для всіх .
Означення: Нехай — рефлексивна білінійна форма. Вектори , простору є ортогональними відносно , якщо .
Білінійна форма є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична. За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор з матричним представленням знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням , тоді і тільки тоді, коли . Радикал — це завжди підпростір простору. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.
Нехай є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення як
Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення дорівнює .
Різні простори Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле
Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору у простір і з простору у простір . Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму називають досконалим утворюванням пар.
У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, вигляду є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні .
Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку". Для їх визначення він використовує діагональні матриці , що мають лише або для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля розлядаються поля дійсних чисел , комплексних чисел і кватерніонів . Білінійна форма
називається дійсним симетричним випадком і позначається як , де . Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.
Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.
Додатно визначений випадок називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса, — простором Лоренца.
Якщо , то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.
Частинний випадок будемо називати розщепленим випадком.
Зв'язок з тензорним добутком Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі і лінійними відображеннями . Якщо є білінійною формою у просторі , то відповідне лінійне відображення визначається як
В іншому напрямку, якщо є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією з білінійним відображенням , яка відображає у .
Множина всіх лінійних відображень є спряженим простором для , тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору , який (для скінченновимірного простору ) канонічно ізоморфний простору .
Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з (друга простору ), і знакозмінні білінійні форм як елементи з (друга зовнішня степінь простору ).
На нормованих векторних просторах Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі є обмеженою, якщо існує константа , що для всіх
Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі є еліптичною, або , якщо існує константа , така, що для всіх
Узагальнення на модулі Нехай задано кільце і правий -модуль та його , відображення називається білінійною формою, якщо
для всіх , всіх і всіх .
Відображення відоме як , яке також називають канонічною білінійною формою на .
Лінійне відображення індукує білінійну форму , а лінійне відображення індукує білінійну форму .
І навпаки, білінійна форма індукує -лінійні відображення і . Тут позначає подвійний спряжений модуль для модуля .
Див. також Білінійне відображення Білінійний оператор Простір із внутрішнім добутком (предгільбертовий простір) Лінійна форма
Квадратична форма Півторалінійна форма
Джерела
. Also:
Примітки