Метод середньої точки — однокроковий чисельний метод для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь,
Явний метод середньої точки задається формулою
неявний метод середньої точки задається формулою
для Тут, — розмір кроку — невелике додатне число, а — обчислене приблизне значення Явний метод середньої точки також відомий як модифікований метод Ейлера. Неявний метод є найпростішим методом колокації та, в застосованні до динаміки Гамільтона, є . Зауважте, що модифікованим методом Ейлера можуть також називати , див. також Список методів Рунге-Кутти.
Назва методу походить від того факту, що у наведеній вище формулі функція , що дає нахил розв'язку, оцінюється у точці середій точці між моментом часу , у який значення відоме, і моментом , у який значення потрібно знайти.
Геометрична інтерпретація може дати краще інтуїтивне розуміння методу (див. малюнок праворуч). В методі Ейлера дотичну до кривої в точці обчислюють за допомогою . Наступне значення знаходять в місці перетину дотичної з вертикальною лінією . Однак, якщо друга похідна між і завжди додатна або завжди від'ємна (як на діаграмі), крива дедалі більше відхилятиметься від дотичної, що може призводити до значних похибок. На діаграмі показано, що дотична в середній точці (верхній, зелений відрізок прямої), найімовірніше, дасть точніше наближення кривої в цьому інтервалі. Однак цю дотичну в середній точці неможливо точно розрахувати, оскільки ми не знаємо криву (саме її й потрібно розрахувати). Натомість, ця дотична оцінюється за допомогою методу Ейлера для оцінки значення у середній точці, а потім обчислюється нахил дотичної за допомогою . Нарешті, покращене значення нахилу використовують для обчислення значення через відоме . Цей останній крок представлений червоною хордою на діаграмі. Зверніть увагу, що червона хорда не є точно паралельною зеленому відрізку (справжній дотичній) через похибку в оцінці значення в середині.
Локальна похибка на кожному кроці методу середньої точки має порядок , що дає глобальну похибку порядку . Таким чином, хоча метод середньої точки є більш обчислювально ресурсоємним, ніж метод Ейлера, його похибка зазвичай швидше зменшується зі зменшенням .
Ці методи є прикладами класу методів вищого порядку, відомих як методи Рунге-Кутти.
Виведення методу середньої точки
Метод середньої точки є уточненням методу Ейлера
і виводиться аналогічним чином. Ключем до виведення методу Ейлера є наближена рівність
яку отримують з формули для похідної
маючи на увазі, що
Для методів середньої точки (3) замінюється більш точним
коли замість (2) ми знаходимо
Це рівняння не вдається використати для знаходження , бо значення в момент невідоме. Рішенням є використання розкладання в ряд Тейлора, як би використовуючи метод Ейлера для знаходження розв'язку для :
що, після підстановки до (4), дає
призводячи до явного методу середньої точки (1e).
Неявний метод (1i) виводиться шляхом апроксимації значення на півкроку серединою відрізка прямої з до
і таким чином
Підставляючи апроксимацію для , отримуємо неявний метод Рунге-Кутти
який містить неявний метод Ейлера з кроком як його першу частину.
Через часову симетрію неявного методу всі члени парного степеня в локальної похибки скорочуються, у результаті локальна похибка має порядок . Заміна неявного методу Ейлера явним при визначенні повертає нас до явного методу середньої точки.
Примітки
Література
.