У математиці, перший незліченний ординал, який традиційно позначається (або іноді ), є найменшим порядковим числом, яке, якщо розглядати його як множину, є незліченним (тобто, він не має тієї самої потужності, що й множина натуральних чисел). Еквівалентно, є супремумом усіх зліченних ординалів. У стандартному фон-Нейманівському ординальному підході, ординал є транзитивною цілком впорядкованою за відношенням належності множиною, причому тоді й лише тоді, коли . Таким чином, якщо розглядати як множину, його елементи — це в точності зліченні ординали (включаючи скінченні ординали ), яких є незліченна кількість.

Як і будь-яке ординальне число, є цілком впорядкованою множиною. Це (ординал без безпосереднього попередника): не існує ординала такого, що .

Кардинальність множини є першим незліченним кардиналом, який позначається числом алеф (). Отже, ординал є початковим ординалом кардинала (початковий ординал — це найменший ординал заданої кардинальності). У теорії множин прийнято ототожнювати кожен нескінченний кардинал з його початковим ординалом , так що як множини можна записати . Більш загально, для будь-якого ординала , позначає початковий ординал кардинала .

За континуум-гіпотезою — не існує множини, кардинальність якої строго лежить між кардинальністю та — маємо . У цьому випадку кардинальність також дорівнює (), тобто вона така ж, як і кардинальність множини дійсних чисел.

Існування не вимагає повної аксіоми вибору. Справді, для будь-якої множини є найменшим ординалом, який не може бути ін’єктивно відображений у ; взявши , отримаємо незліченний ординал, який (за визначенням) є принаймні таким же великим, як . Множина є зліченною, якщо вона скінченна або зліченно нескінченна, тобто знаходиться у взаємно однозначній відповідності з , в іншому випадку вона є незліченною.

Топологічні властивості

Для ординальних інтервалів ми пишемо для множини всіх ординалів з , що містить порядкову топологію (див. нижче). Таким чином, простір складається з усіх ординалів, строго менших за , тоді як = включає точку як верхній елемент.

Будь-який ординал може розглядатися як топологічний простір, якщо надати йому порядкову топологію: базу утворюють відкриті інтервали разом із початковими сегментами вигляду , і, коли присутній верхній елемент, кінцевими сегментами вигляду . Розглядаючи простір із цією топологією, він позначається .

Якщо ми приймаємо аксіому зліченного вибору, кожна зростаюча -послідовність (тобто, послідовність, індексована натуральними числами) у збігається. Справді, поточкове об’єднання (яке є супремумом у порядку ординалів) зліченної множини зліченних ординалів знову є зліченним ординалом; отже, будь-яка зростаюча послідовність має границю , яка лежить у .

Простір є послідовно компактним (кожна послідовність має збіжну підпослідовність), але не компактним (існують відкриті покриття без скінченного підпокриття). Отже, він не є метризовним (кожен компактний метричний простір є послідовно компактним, і навпаки, але некомпактний послідовно компактний простір не може бути метричним). Тим не менш, є зліченно компактним (кожна зліченно нескінченна підмножина має граничну точку); оскільки простір є компактним тоді і лише тоді, коли він є одночасно зліченно компактним та ліндельофовим (звідси випливає, що не є ліндельофовим. З точки зору аксіом зліченності, є першим зліченним (кожна точка має зліченну локальну базу), але він не сепарабельний (не виконується друга аксіома зліченності).

На противагу цьому, простір (що позначається ) є компактним (кожне відкрите покриття має скінченне підпокриття), але не першою зліченною: верхня точка має (незліченну), тому жодна зліченна база околів не може збігатися до неї у порядковій топології.

Ординал є стандартним будівельним блоком для класичних контрприкладів у топології. отримується шляхом взяття лексикографічного порядку на та формування відповідної порядкової топології; вона локально схожа на , але не задовольняє другій аксіомі зліченності, і не є паракомпактною. Площина Тихонова — це простір добутку (з топологією добутку порядкових топологій), який демонструє подальші патології сепарабельності та компактності.

Див. також

Джерела

Бібліографія

Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, **ISBN 3-540-44085-2**. Lynn Arthur Steen та J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Передрук **Dover Publications**, New York, 1995. **ISBN 0-486-68735-X** (видання Dover).