Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.
Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.
Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.
Визначення Якщо гіперплощина описується одиничним вектором , що є ортогональним до неї; та — скалярний добуток в , тоді — оператор Хаусхолдера.
Матриця Хаусхолдера має вигляд:
Властивості Матриця Хаусхолдера є ермітовою: Матриця Хаусхолдера є унітарною: Отже вона є інволюцією: . Перетворення відображає точку в точку Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору , усі інші власні значення дорівнюють (+1). Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1. Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані.
Див. також Матриця повороту Ортогональна матриця
Джерела
Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947