Ортогональність (від — прямий і — кут) — термін, який узагальнює перпендикулярність векторів на білінійні форми.
Визначення
Нехай — прегільбертів простір. Елементи , називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0: ,
що позначається .
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.
Якщо для системи векторів простору визначник Грама дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі
В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції
Дві дійсні функції та є ортогональними одна щодо одної у інтервалі якщо
Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою ваговою функцією w(x):
Подібно до векторів, набір функцій можна ортогоналізувати використовуючи, наприклад, процес Грама — Шмідта.
Норму можна визначити через скалярний добуток:
Див. також
Перпендикулярність Базис (математика) Ряд Фур'є, Ряд Тейлора Ортогональна група Ортогональна матриця Ортогональність (хімія) Ротатабельність
Посилання
Література