Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається ), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці, розмірності , причому:

де одинична матриця.

Якщо для матриці існує , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

— операція обернення є інволюцією. — обернення транспонованої матриці — обернення спряженої матриці для довільного коефіцієнта

— визначник оберненої матриці. — ранг матриці дорівнює розміру матриці. Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими. Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь , (b — ненульовий вектор) і існує, тоді . В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Знаходження оберненої матриці Точні методи Метод Гауса — Жордана LU розклад матриці

де — союзна матриця.

Ітераційні методи ...

Приклади

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли .

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли .

Див. також Теорія матриць Псевдообернена матриця Обернення блочної матриці

Джерела