У математиці бета-функцією (-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:
,
визначена при , .
Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.
Властивості Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто
.
Бета-функцію можна виразити через інші функції:
,
де — Гамма-функція;
,
де — нижній факторіал, рівний .
Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:
.
Похідні
Частинні похідні у бета-функції наступні:
.
Неповна бета-функція
Неповна бета-функція — це узагальнення бета-функції, що заміняє визначений інтеграл невизначеним:
.
При неповна бета-функція збігається з повною.
Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:
.
Властивості
. Див. також Гамма-функція Невластивий інтеграл Інтеграл Рімана Інтегральне числення
Джерела