Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні , де ).
Формально, для мультиплікативних груп:
для адитивних:
Приклади Група цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи. Група цілих чисел за модулем з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи. Група коренів з -го степеня з (в множині комплексних чисел) з операцією множення.
Властивості Всі циклічні групи є абелевими. Це випливає з асоціативності групи.
Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі . Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить в . Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що та
У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: та ; для скінченної групи порядку їх кількість рівна функції Ейлера тобто кількості чисел менших від і взаємно простих з . Для скінченної циклічної групи елемент є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з . Тоді існують для яких виконується тобто . Відповідно і так для всіх елементів. Навпаки якщо то ділиться на тобто рівне для деякого цілого . Тоді ? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна. Є наслідком теореми Лагранжа.
Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.
Теорема про підгрупи циклічної групи Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема: Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.
Доведення Нехай — циклічна група і — її підгрупа. Вважатимемо, що і не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).
Нехай — твірний елемент групи , а — найменше додатне ціле число, таке що . Твердження:
Відповідно, .
Нехай . . Згідно з алгоритмом ділення . . Зважаючи на вибір і те, що , одержуємо . . Відповідно, .
Див. також Теорія груп Модульна арифметика Циклічний граф
Джерела Українською
Іншими мовами