Кільце Нетер — в абстрактній алгебрі це таке асоціативне кільце з одиницею для якого справджується наступне твердження: нехай маємо деяку зростаючу послідовність ідеалів кільця:
тоді існує таке для якого:
Якщо ідеали в означенні ліві, то кільце називається лівим кільцем Нетер, якщо праві - правим кільцем Нетер. Якщо твердження виконується і для лівих і для правих ідеалів то кільце просто називається кільцем Нетер. Дані кільця названі на честь німецького математика Еммі Нетер ().
Альтернативні означення Наступні два твердження є еквівалентними до означення кільця Нетер і, відповідно, самі можуть бути означеннями: Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожна непуста множина його ідеалів має максимальний елемент. Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожен його ідеал є скінченно породженим. Тобто для кожного ідеалу кільця існують такі елементи , що .
Приклади Приклади кілець Нетер: Будь-яке поле, зокрема раціональні, дійсні та комплексні числа. Кільце цілих чисел. Кільце многочленів з скінченною кількістю змінних і цілочисельними коефіцієнтами чи коефіцієнтами з деякого поля.
Приклади кілець, що не є кільцями Нетер Кільце многочленів, з нескінченною кількістю змінних. Кільце неперервних функцій з множини дійсних функцій в множину дійсних функцій.
Властивості Теорема Гільберта про базис: для довільного кільця Нетер A кільце многочленів є кільцем Нетер. Якщо A є кільцем Нетер то будь-яке фактор-кільце по двохсторонньому ідеалу є кільцем Нетер
Див. також Нетеровий топологічний простір
Література