Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна відносно всіх автоморфізмів групи. Тобто підгрупа є характеристичною, якщо для кожного автоморфізму групи і для кожного елемента виконується .
Властивості Якщо підгрупа є характеристичною, вона є нормальною, зворотне твердження невірне. Наприклад якщо група G є прямим добутком H × H, то підгрупи {1} × H і H × {1} є нормальними, але не є характеристичними (зокрема не є інваріантними щодо автоморфізму (x, y) → (y, x)) Якщо N є нормальною підгрупою групи G, а A є характеристичною підгрупою групи N, то Aє нормальною підгрупою групи G. Для деякого визначимо внутрішній автоморфізм таким чином: Оскільки група N нормальна то за означенням маємо, що тобто є автоморфізмом групи N. Відповідно оскільки A є характеристичною підгрупою групи N то вона інваріантна щодо усіх таких тобто є нормальною. Якщо N є характеристичною підгрупою групи G, і A є характеристичною підгрупою групи N, то іAє характеристичною підгрупою групи G. Доводиться ідентично до попереднього з заміною на довільний автоморфізм.
Приклади Будь-яка підгрупа циклічної групи характеристична. Центр групи є характеристичною підгрупою. Дійсно нехай деякий автоморфізм групи і — деякий елемент, що належить центру групи. Тоді і оскільки то маємо . Підгрупа Фраттіні, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп, є характеристичною підгрупою. Норма групи
Див. також Нормальна підгрупа
Джерела