В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:
Обчислення -ною частковою сумою гармонічного ряду називається -не гармонічне число:
Деякі значення часткових сум
Розбіжність ряду
Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Доведення 1 Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.
Доведення 2 Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна :
Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
Винесемо із других дужок :
Замінимо вираз в других дужках на :
Перенесемо в ліву частину:
Замінивши сумою ряду одержимо:
Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.
Доведення 3 На початок запишемо суму геометричної прогресії:
де |x|<1.
Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:
Перейшовши до границі при одержуємо рівність:
.
Оскільки , то також має місце
Тобто гармонічний ряд є розбіжним.
Пов'язані ряди
Знакопереміжний гармонічний ряд
Ряд
називається знакопереміжним гармонічним рядом. Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца, але не абсолютно збіжний. Його сума - .
Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження
Див. також Гармонічна прогресія (математика) Гармонічне число Константа Майсселя — Мертенса
Примітки
Література