У математиці, sign функція, signum функція, си́гнум-фу́нкція, зна́кова фу́нкція або функція знаку (з латинської signum «знак») — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція часто зустрічається як .
Означення
Функція знаку дійсного числа визначається наступним чином:
Або як:
Властивості Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:
Звідси випливає, що при
Так само і для будь-якого дійсного числа
Ми також можемо переконатися, що
Функція є похідною функції з точністю до невизначеності при :
Більш формально, в теорії інтегрування функцій — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при є інтервал , «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при ).
Похідна функції дорівнює 0 для всіх крім 0. Вона не є диференційовною при у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності
де — Функція Гевісайда, . Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:
Перетворення Фур'є функції має вигляд
де p.v. — головне значення інтеграла за Коші.
Функцію також можна виразити за допомогою дужки Айверсона
Функцію можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:
Для неперервне наближення функції знаку має вигляд:
Інше наближення має вигляд:
яке стає «гострішим» при ; зауважимо, що це похідна від функції . Це ґрунтується на тому факті, що для всіх якщо , і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції ).
Комплексний випадок
Функцію можна узагальнити на комплексні числа:
для будь-якого комплексного числа , крім . Таким чином, значення функції буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки . Тоді для
де — аргумент комплексного числа.
З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для :
Іншим узагальненням функції для дійсних і комплексних виразів є функція , що визначається як
де — дійсна частина числа , а — комплексна частина . Тоді для маємо
Узагальнена функція знаку
Для дійсних значень можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) , таку, що для всіх , у тому числі і в точці (на відміну від функції , для якої ). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака
крім цього, не можливо визначити при ; і спеціальне позначення необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку ( не визначено, але ).
Див. також Функція Гевісайда Дельта-функція Дірака Абсолютне значення Від'ємне число Сигмоїдна функція Прямокутна функція Тришляхове порівняння
Джерела