Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.
Мартингали з дискретним часом
Послідовність випадкових величин називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови ; .E - оператор математичного сподівання.
Нехай задана також інша послідовність мартингалів . Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом відносно або -мартингалом, якщо ; .
Найбільш загально нехай — ймовірнісний простір і задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом, якщо виконуються умови: Процес є узгодженим з фільтрацією . ; .
Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді: .
Мартингали з неперервним часом
Нехай задано ймовірнісний простір з заданою на ньому фільтрацією , де . Тоді випадковий процес називається мартингалом відносно , якщо вимірна відносно для довільного . . . Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто мартингалом.
Суб(супер)мартингали
Нехай задана послідовність випадкових величин . Тоді послідовність випадкових величин називається су́б(су́пер)мартингалом відносно , якщо
Випадковий процес називається суб(супер)мартингалом відносно , якщо вимірна відносно для довільного . . . Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто суб(супер)мартингалом.
Властивості
Якщо — мартингал, то . Якщо — субмартингал, то — супермартингал. Якщо є мартингалом, а — опукла функція, то — субмартингал. Якщо — вгнута функція, то — супермартингал.
Приклади Вінерівський процес є мартингалом. Якщо { Nt : t ≥ 0 } є пуассонівським процесом з параметроом λ, тоді випадковий процес { Nt − λt : t ≥ 0 } є мартингалом з неперервним часом. Мартингал Дуба Мартингал де Муавра
Коментарі
Джерела
G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9