Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.
Перша лема
Нехай задано ймовірнісний простір і послідовність подій . Позначимо . Тоді якщо ряд є збіжним, то .
Доведення Спершу зазначимо, що . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k: .
Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.
Друга лема
Якщо всі події сумісно незалежні, і ряд є розбіжним, то .
Доведення Достатньо довести, що для всіх k виконується:
Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.
Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k
Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо
Зважаючи, що маємо
Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при тому:
Однак виконується
звідки при отримаємо бажаний результат.
Джерела
Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 978-1-85233-781-0