Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Визначення Нехай дано імовірнісний простір , і повна група подій , таких що . Хай подія, що нас цікавить. Тоді .

Зауваження Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай  — випадкова величина, що має розподіл . Тоді , тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Приклади

Приклад 1 Задача:

Припустимо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра: Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

Розв'язок:

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій: P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

Приклад 2

Припустимо, що дві різні фабрики виробляють електричні лампочки. Лампи фабрики X працюватимуть довше 5000 годин в 99% випадків, в той час як лампочки фабрики Y працюватимуть довше 5000 годин в 95% випадків. Відомо, що фабрика X поставляє 60% ламп, від загально доступної кількості, а фабрика Y поставляє решту 40% ламп. Який шанс, що придбана лампа працюватиме довше ніж 5000 годин?

Застосовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

де — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою X; — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою Y; — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою X працюватиме більше ніж 5000 годин; — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою Y працюватиме більше ніж 5000 годин.

Таким чином існує імовірність в 97.4%, що кожна придбана лампа буде працювати більше ніж 5000 годин.

Див. також Правило повного математичного сподівання Імовірність Умовна ймовірність Умовне математичне сподівання Умовна коваріація Теорема Баєса

Джерела

Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810 Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6