В теорії ймовірностей твердження відоме як закон повного математичного сподівання , закон повторних сподівань, правило вежі , закон Адама чи теорема згладжування стверджує, що якщо — випадкова величина, з визначеним матсподіванням , а — довільна випадкова величина на тому ймовірнісному просторі.

тобто значення сподівання умовного матсподівання значення для певного дорівнює матсподіванню .

У спеціальному випадку, для - скінченного або зліченного розбиття простору елементарних подій, тоді

Приклад Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок лампочки. Лампочки із заводу працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки?

Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо:

де — тривалість роботи лампочки; — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X; — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y; — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X; — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.

Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.

Доведення для скінченних і зліченних випадків Нехай випадкові величини та визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що визначена, тобто . Якщо — подрібнення ймовірнісного простору , то

Доведення

Якщо ряд скінченний, то можемо змінити порядок сумування й попередній вираз запишеться

Якщо ж, з іншого боку, ряд нескінченний, то його збіжність не може бути умовною через припущення, що Ряд збіжний абсолютно якщо обидвоє, і - скінченні і розбіжний до нескінченності, якщо чи чи — нескінченне. В обидвох випадках порядок сумування можна змінити не змінюючи суми.

Доведення у загальному випадку Нехай  — ймовірнісний простір, з визначеними на ньому σ-алгебрами . Для випадкової величини на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо - визначене, тобто , тоді

Доведення. Завдяки тому, що умовне матсподівання це похідна Радона – Нікодима, доведення закону згладжування зводиться до перевірки таких двох властивостей:

є -вимірною для всіх

Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого,

отже інтеграл визначений (не дорівнює ).

Друга властивість правильна, бо з випливає

Висновок. В особливому випадку, коли і , закон згладжування зводиться до

Доведення формули розбиття

де - характеристична функція множини .

Якщо розбиття - скінченне, то, за властивістю лінійності, попередній вираз записується у вигляді

що й треба було показати.

Якщо ж розбиття - нескінченне, то застосовуючи теорему про мажоровану збіжність можемо показати

Справді, для кожного ,

Позаяк кожен елемент множини належить певному елементу подрібнення , легко перевірити що послідовність поточково збіжна до X. За припущенням у твердженні, . Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.

Див. також

для одного практичного застосування. Формула повної ймовірності Закон повної дисперсії Закон повної коваріації Закон сукупної кумуляції , див. підрозділ про сподівання (застосування Закону для доведення того, що сподівання добутку це добуток сподівань)

Джерела

(Теорема 34.4) Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

Примітки