Біна́рна опера́ція (двомісна операція) — це математичне правило комбінування двох елементів (які називаються операндами), для отримання іншого елемента. Формально, це операція арності 2 (див. Містність операції).
Визначення Бінарною операцією на множині є відображення декартового добутку в множину :
Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).
Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.
Бінарні операції є наріжним каменем алгебричних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.
Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.
За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.
Типи бінарних операцій
Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.
Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.
Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.
Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.
Приклади бінарних операцій арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення; додавання, множення матриць; об'єднання і перетин множин; добуток графів.
Зовнішні бінарні операції
Зовнішня бінарна операція — це бінарна операція з в . Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".
Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S — векторним простором над цим полем.
Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.
Див. також Арність Унарна операція Тернарна операція
Література
Посилання Jessica K. Sklar. Pacific Lutheran University 2.1: Бінарні операції та структури Жучок Ю.В. (2020) Класифікація двоелементних допельнапівгруп. Фізико-математична освіта. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 38-42.
Бінарна операція // ВУЕ