Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками).
Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці, а також має застосування в інформатиціD.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8. та теоретичній фізиціТопоси для фізики. {ref-en}. Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.
Історія Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій завдячує алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднувальну та уніфікувальну роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.
Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. позначилася дедалі більша цікавість до неабелевих категорій, спонуканий задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному дослідженню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).
Визначення
Категорія Категорія складається з класу , елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу , елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти такі умови:
Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас ; якщо , то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу . У класі заданий частковий закон множення: добуток морфізмів та визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається і належить класу . Справедливий закон асоціативності: для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені. У кожному класі визначений такий морфізм , що для ; морфізми називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуруJ. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats , — New York: John Wiley and Sons, — 1990..
Приклади категорій Set — категорія множин. Об'єктами є множини, морфізмами — відображення множин, а множення збігається з послідовним виконанням відображень. Top — категорія топологічних просторів. Об'єктами є топологічні простори, морфізмами — всі неперервні відображення топологічних просторів, а множення знову збігається з послідовним виконанням відображень. Group — категорія груп. Об'єктами є групи, морфізмами — всі гомоморфізми груп, а множення збігається з послідовним виконанням гомоморфізмів. За аналогією можна ввести категорію кілець і т. д. VectK — категорія векторних просторів над полем K. Морфізми — лінійні відображення векторних просторів. Rel — категорія бінарних відношень множини; клас об'єктів цієї категорії збігається з класом об'єктів Set, а морфізмами множини А в множину В є бінарні відношення цих множин, тобто всілякі підмножини декартового добутку А×В; множення збігається з множенням бінарних відношень. Моноїд є категорією з одним об'єктом, навпаки, кожна категорія, що складається з одного об'єкта, є моноїдом. Для будь-якої частково впорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи множини, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x≤y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин).
Всі перелічені вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.
Комутативні діаграми
Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:
Двоїстість Для категорії можна визначити двоїсту категорію , у якій:
об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії; морфізми одержуються «обертанням стрілок»: Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).
Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.
Морфізми Морфізм називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм , що та . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом .
Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів по композиції.
Мономорфізм — це морфізм такий, що для будь-яких з випливає, що . Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.
Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких з слідує .
Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.
Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.
Універсальні об'єкти
Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.
Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.
Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.
Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина , термінальним — множина з одного елементу . Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.
Добуток і сума об'єктів
Добуток об'єктів та — це об'єкт з морфізмами та такими, що для будь-якого об'єкта з морфізмами та існує єдиний морфізм такий, що .
Морфізми та називаються проєкціями.
Дуально визначається кодобуток (пряма сума): об'єктів і . Відповідні морфізми та називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.
Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.
Приклади У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання . У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток , а прямий добуток — сума кілець . У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів .
Фактор-категорія Фактор-категорія — конструкція, яка є аналогічною конструкції фактор-множини або фактор-алгебри. Нехай — довільна категорія, у класі морфізмів задане відношення еквівалентності яке задовільняє наступним умовам
якщо то кінці морфізмів та співпадають; якщо та добуток визначений, то
Через позначається клас еквівалентності морфізму Фактор-категорією категорії по відношенню еквівалентності називається категорія у якої ті самі об'єкти, що й у а для будь-якої пари об'єктів множина морфізмів складається з класів еквівалентності де у добуток морфізмів визначається формулою
Усяка мала категорія є фактор-категорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.
Ядерна пара морфізму — узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відображенням однієї множини у іншу. Морфізми категорії є ядерною парою морфізму якщо та якщо для пари довільних морфізмів для якої існує такий єдиний морфізм що та
Функтори Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше
(Коваріантний) функтор ставить у відповідність кожному об'єктові категорії об'єкт категорії і кожному морфізму морфізм так, що і .
Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з у , тобто «функтор, що перевертає стрілки».
Мала категорія Клас об'єктів не обов'язково є множиною у сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія , у якій об'єкти є множиною та морфізми є множиною, називається малою.
Нехай — функтор з малої категорії у довільну. Шаром функтора над є категорія, об'єктами якої є пари об'єктів та морфізмів категорії , а морфізмами між парами — трійки морфізмів таких, що Двоїсто, ко-шаром називається категорія, яка складається з пар об'єктів та морфізмів у якій морфізмами є трійки які задовільняють співвідношенню Функтор (або, відповідно, ), який діє як на об'єктах й як на морфізмах, називається забуваючим функтором.
Тензорна категорія Нехай категорія та нехай — функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:
Заданий деякий ізоморфізм функторів Це значить, що для є ізоморфізм. Виконується аксіома п'ятикутника: Є об'єкт для якого задані натуральні ізоморфізми та Виконується аксіома трикутника:
Наприклад, для трійок та є такий ізоморфізм , що діаграма
є комутативною.
Категорія Дрінфельда Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазі-трикутну моноїдальну категорію. Нехай — категорія, об'єктами якої є -модулі, а Це — -лінійна адитивна категорія. Тепер нехай Розгляньмо гомоморфізм який визначається формулою , і Тут є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через позначений елемент Казіміра. Через позначені співвідношення шестикутника. Для довільних має місце тензорний добуток Морфізм асоціативності є елементом Для визначмо також скручення формулою де є перестановкою. Морфізми визначають структуру квазі-трикутної категорії на
Функтор Сера Функтором Сера триангульованої -лінійної -скінченної категорії є коваріантний адитивний функтор який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми
де Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.
Для гладкого проективного многовиду розмірності й канонічного пучка класична двоїстість Сера
де є наслідком того, що є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків Якщо на триангульованій -лінійній -скінченній категорії є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.