Теорема про монотонну збіжність — теорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.
Твердження
Нехай — фіксований простір з мірою. Припустимо, що - монотонна і майже всюди невід'ємна функціональна послідовність інтегровних за Лебегом функцій на . Тоді
Нехай — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій обмежені в сукупності, тобто . Тоді гранична функція скінченна майже всюди, інтегровна і . Нехай ряд складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності: , то ряд сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і .
Формулювання з теорії ймовірностей
Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді .
Література
Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810 D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6