Скаля́рний добу́ток () — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.
Скалярний добуток геометричних векторів та обчислюється за формулою:
де та є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: .
Два означення добутку векторів: Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини на довжину проєкції на ).
В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів та позначають як . Можлива і скорочена форма запису: . Також можливе позначення , що підкреслює зв'язок з множенням матриць.
Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.
Визначення в евклідовому просторі
В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів і
в ортонормованому базисі -вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів: . В загальному випадку: , де — елемент Матриці Грама
Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так: ,
тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.
Норма векторів
Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:
.
Якщо простір евклідів, то: .
Обчислення кута
В евклідовому просторі виконується така рівність: .
На основі цього можна обчислити кут між векторами: .
Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів
Для векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:
де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.
Інший варіант скалярного добутку можна визначити як .
Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.
Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.
Властивості
Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто . Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор). Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання. В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора називається оператор , для якого виконується рівність: для довільних , .
Узагальнене визначення
Якщо — лінійний простір над полем , а — комплексно спряжений до то білінійне відображення , або, при відображення називається скалярним добутком.
Скалярний добуток в дійсному векторному просторі , це симетричне додатньовизначене білінійне відображення , тобто, для та виконуються такі умови: білінійність:
симетричність: додатньовизначеність: та якщо Скалярний добуток в комплексному векторному просторі , це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення , тобто, для і виконуються такі умови: півторалінійність:
ермітовість: додатньовизначеність: і , якщо . (те, що дійсний, витікає з умови 2)
Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.
Представлення у вигляді добутку матриць
Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.
У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як: , де знаком позначається транспонування матриці.
У випадку комплексних чисел виконується: , де знаком позначається ермітово-спряжена матриця.
Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця визначає скалярний добуток: ; аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця визначає скалярний добуток: .
Див. також
Ермітів скалярний добуток Векторний добуток Гільбертів простір
Норма (математика) Нерівність Коші — Буняковського
Примітки
Джерела