Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.
Визначення Нехай дано ймовірнісний простір і на ньому визначені випадкові величини . Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на , що називається розподілом.
Випадкові величини збігаються за розподілом до випадкової величини , якщо розподіли слабко збігаються до розподілу , тобто
для будь-якої борелевої функції .
Зауваження Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так: .
Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.
Властивості збіжності за розподілом Випадкові величини збігаються за розподілом до , якщо їх функції розподілу збігаються до функції розподілу границі у всіх точках неперервності останньої: . Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності: . Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються: майже скрізь, то . Обернене, взагалі кажучи, невірно! Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в ) випливає збіжність за розподілом: . Обернене, взагалі кажучи, невірно.
Див. також Теорема Слуцького
Джерела