Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше диференційовних функцій на основі їх індивідуальних похідних.

Якщо функція має похідну в точці , а функція має похідну в точці , тоді складена функція також має похідну в точці .

Історія Ланцюгове правило, можливо, вперше застосував німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. Він скористався ним для обчислення похідної як складеної функції квадратного кореня та функції Вперше він згадав про це у своїх мемуарах 1676 року (з помилкою в знаку при обчисленні). Французький математик Гійом де Лопіталь неявним чином використовував це правило у своїй роботі «». Вважається, що ланцюгове правило вперше сформулював французький математик Жозеф-Луї Лагранж у своїй праці «Теорія аналітичних функцій» () 1797 року.

Одновимірний випадок Нехай і  — внутрішня точка множини . Якщо функція де має похідну у точці та функція має похідну у точці то композиція має похідну у точці і виконується рівність

у нотації Лагранжа.

У нотації Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції де набуває такого вигляду:

Приклад Нехай Тоді функція може бути записана у вигляді композиції де

Диференціюємо ці функції окремо:

отримуємо

Похідна вищого порядку

Для -ої похідної композиції функцій, які мають -ту похідну, виконується формула Фаа ді Бруно:

де сума пробігає по всім кортежам довжини невід'ємних цілих чисел (m1, …, mn), що задовольняють умові

Багатовимірний випадок

Скалярна функція багатьох змінних Нехай і  — внутрішня точка множини . Якщо вектор-функція однієї змінної диференційована у точці і скалярна функція багатьох змінних має похідну у точці то композиція функцій має похідну у точці і виконується така рівність:

де  — часткова похідна функції за змінною .

Цю рівність можна переписати, використовуючи поняття скалярного добутку та градієнта, у такому вигляді:

Вектор-функція багатьох змінних Нехай  — відкрита множина в  — відкрита множина в Якщо вектор-функція диференційовна в точці та вектор-функція диференційовна в точці то композиція диференційовна в точці і виконується рівність

де та  — повні похідні функцій , та відповідно у нотації Ейлера.

Якщо то для часткових похідних композиції функцій справедливо

Подальші узагальнення Для ліпшицевої функції та функції з простору Соболєва , де та  — відкрита множина в таких, що їхня суперпозиція належить простору , виконується рівність майже скрізь, де та  — слабкі похідні функцій та відповідно, і також належить Ланцюгове правило також виконується для похідної Фреше в лінійних нормованих просторах. Однак це не завжди так для похідної Гато, яка є узагальненням похідної Фреше. У теорії випадкових процесів лема Іто виражає диференціал композиції функцій (неперервно диференційована по першому аргументу та двічі неперервно диференційована по другому аргументу) і процесу Іто такого, що У цій лемі диференціал композиції залежить не тільки від і перших часткових похідних функції , але й від другої часткової похідної по другому аргументу:

Примітки

Джерела