Коваріаційна матриця (або коваріаційна таблиця) в теорії ймовірностей — це квадратна матриця, яка складена з попарних коваріацій і дисперсій двох або більше випадкових величин.
Визначення
нехай , — два випадкових вектора розмірності і відповідно. Нехай також випадкові величини мають скінченний другий момент, тобто . Тоді матрицею коваріації називається
тобто , де , — Математичне сподівання. Якщо , то називається матрицею коваріації вектора і позначається . Така матриця коваріацій є узагальненням дисперсії для багатовимірної випадкової величини, а її слід — скалярним виразом дисперсії багатовимірної випадкової величини. Власні вектори і власні значення цієї матриці дозволяють оцінити розміри і форму хмари розподілу випадкової величини, апроксимувавши її еліпсоїдом (або еліпсом у двовимірному випадку) . Коваріаційна матриця називається автоковаріаційною. Зауваження
Цей термін має також інші значення. Наприклад, матрицею коваріації називається матриця, складена з попарних коваріацій різних елементів одного випадкового вектора.
Властивості
Скорочена формула для обчислення матриці коваріації: . Матриця коваріації випадкового вектора невід'ємно визначена: . Зміна масштабу: . Якщо випадкові вектори і некорельовані (), то . Матриця коваріації афінного перетворення: , де — довільна матриця розмірності , а . Перестановка аргументів:
Матриця коваріації адитивна за кожним аргументом: , . Якщо і незалежні, то .
Джерела
Примітки