Механічний рух — зміна положення тіл відносно інших тіл у просторі з плином часу. Розділ фізики, що вивчає закономірності механічного руху, називається механікою. Здебільшого під механікою розуміють класичну механіку, в якій вивчають рух макроскопічних тіл, що рухаються зі швидкостями, які в багато разів менші за швидкість світла у вакуумі. В основі класичної механіки лежать закони Ньютона. Тому її часто називають ньютонівською механікою. Закономірності руху тіл зі швидкістю близькою до швидкості світла у вакуумі вивчає релятивістська механіка, а закономірності руху мікрочастинок (наприклад: електронів, атомів, молекул, та інше) — квантова механіка.
Системи відліку Базовим поняттям, яке використовується для опису механічного руху, є матеріальна точка. Матеріальною точкою вважається тіло, розмірами якого для опису руху можна знехтувати. Для того щоб задати рух матеріальної точки необхідна система відліку, оскільки в різних системах відліку можна отримати різні відповіді на одні і ті ж питання щодо руху. Наприклад, тіла що плавають в невагомості на космічному кораблі, у земній системі відліку рухаються зі швидкістю у багато кілометрів на секунду, обертаючись навколо Землі.
Система відліку зазвичай пов'язана з якимось тілом, відносно якого обирається точка яку називають початком координат. Якщо також зафіксувати ще три некомпланарні лінії відносно початкової точки, можна отримати систему координат, в якій кожна точка простору може бути задана трьома числами, які називають координатами точки. У випадку, якщо всі три прямі перпендикулярні одна до одної, така система координат називається прямокутною або декартовою, а відповідні координати позначають x, y, z. В такому випадку рух точки можна записати системою з трьох рівнянь:
Де кожне з рівнянь задає зміни відповідної координати з часом. Наприклад, система
задає точку яка рухається вздовж осі x зі швидкістю V. Існують і інші типи координатні системи, які називають криволінійними: сферична, циліндрична та інші, які можуть спростити опис для деяких систем. В усіх цих системах для запису положення вільної матеріальної точки потрібно три числаCurvilinear Coordinates.
Іноді зручно працювати не з окремими координатами а у векторній формі. Для цього вводиться радіус-вектор, який іде з початку координат до положення точки. Компоненти радіус-вектора дорівнюють координатам точки. Рівняння руху в такому випадку записане як
Якщо i, j, k — одиничні вектори, напрямлені вздовж координатних осей, то векторне рівняння руху можна записати як
еквівалентно координатному запису.
Система відліку може бути прив'язана і до тіла яке рухається з прискоренням (неінерційна система відліку), але в такому випадку будуть з'являтися фіктивні сили, які необхідно буде ввести в рівняння руху для коректного опису. До таких сил належать сила інерції, сила Коріоліса і відцентрова силаСили інерціїСили інерції в обертовій системі відліку.
Рівняння руху Рівнянням руху називають рівняння, що описує рух тіла в заданій системі координат.
Іноді такі рівняння можуть бути записані безпосередньо у формі . Наприклад, рух тіла, кинутого вертикально вгору у полі тяжіння описується рівняннямЗнак «мінус» через те, що напрямки вектору швидкості (вгору) та прискорення (вниз) спрямовані в протилежних напрямках
Проте в динаміці під рівняннями руху розуміють рівняння яке пов'язує рух тіла з впливом оточення. Базовим рівнянням руху є другий закон НьютонаГ. А. Бугаенко, , Основы классической механики. — Москва, Высшая школа, 1999. — ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3000 прим. — c. 43Кузнецов Б. Г. Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. , Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 188;Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — Тираж 1000 экз. — с. 249:
Завдяки цьому рівнянню, знаючи закони, що описують залежність сил що діють на тіло від стану системи, можна обчислити прискорення тіла, а з нього послідовним інтегруванням — швидкість і положення. Наприклад, наведене вище рівняння руху тіла, кинутого вертикально можна отримати, підставивши в рівняння Ньютона вираз для сили тяжіння в однорідному гравітаційному полі і інтегрувавши отримане рівняння двічі. Часто розв'язок знаходиться чисельно за допомогою ітеративного підходу — в кожен дискретний момент часу (тут мається на увазі якийсь скінченний, але дуже маленький проміжок між сусідніми моментами) знаходиться прискорення тіла, і на його основі визначаються швидкості і положення в наступний момент часу.
В механіці Лагранжа підхід до аналізу руху тіл інший. Головним рівнянням, яке описує еволюцію системи є рівняння Ейлера — Лагранжа:
де — лагранжіан системи (який є функцією узагальнених координат і швидкостей), — узагальнені координати а — похідні від них (узагальнені швидкості).
Конкретний вигляд лагранжіана визначається взаємодіями в системі. Розв'язком рівняння Ейлера — Лагранжа є залежності узагальнених координат від часу які містять кілька сталих інтегрування, конкретні значення яких визначаються початковим станом системи (координатами і швидкостями).
Часто підхід Лагранжа є зручнішим для систем з обмеженнями, наприклад з в'язями або якщо тіло може рухатися тільки вздовж деякої траєкторії. Математичний маятник є прикладом такої системи — жорстка в'язь з'єднує тіло з точкою підвісу і дозволяє йому рухатися лише вздовж дуги кола — таким чином, достатньо однієї координати щоб описати його положення.
Мінімальна кількість незалежних змінних, які дозволяють визначити стан системи (положення кожної частинки) в кожен момент часу називається ступенями вільності даної системи.
Інтеграли руху і константи руху
Рівняння руху описують зміни в часі координат і швидкостей тіл. Загалом якщо існує система з n рухомих точок, то рівняння руху будуть оперувати 6n змінних (три значення координат і три компоненти швидкості для кожної точки). Проте часто можливо сформувати деяку функцію цих параметрів, яка не буде мінятися в часі. Такі константні функції називаються інтегралами або константами руху і є дуже корисними для розв'язку задач. Загалом таких функцій може бути багато — для системи з ступенів вільності можна сформулювати інтегралів рухуТакі інтеграли є незалежними, але не обов'язково перебувають в інволюції, що є важливим для визначення інтегровності за Ліувіллем, проте лише деякі з них мають реальну користь. Важливими є адитивні інтеграли руху, тобто такі, значення яких для всієї системи дорівнює сумі значень для кожної частинки.
Найважливішими константами руху є: Енергія: , де U — потенціальна енергія. Імпульс: Момент імпульсу:
Закони збереження цих величин є універсальними і виконуються завжди для замкнених систем — це означає, що якщо ми розглянемо якусь відкриту підсистему, то для неї ці величини можуть не зберігатися, наприклад, тіло яке рухається у гравітаційному полі Землі збільшує свій імпульс, проте якщо врахувати імпульс самої Землі, яка починає (надзвичайно повільно) рухатися назустріч тілу яке вона притягує, то сумарний імпульс буде незмінним. Також, енергія може мати не-механічні форми, наприклад, теплова або хімічна — так, при русі ракети, хімічна енергія переходить в кінетичну, а при русі з тертям — кінетична в теплову (теплову і хімічну енергії, насправді, зазвичай формально можна звести до кінетичної і потенціальної, бо вони пов'язані з рухом елементарних частинок і їх взаємодією, проте через неможливість описати рух кожної частинки майже завжди простіше виокремлювати їх). Системи, для яких механічна енергія (сума кінетичної і потенціальної) зберігається називаються консервативними. Системи в яких вона переходить в теплову називаються дисипативними.
За теоремою Нетер ці закони збереження однозначно пов'язані з фундаментальними симетріями нашого простору-часу — однорідністю часу, однорідністю простору і ізотропністю простору відповідно.
Оскільки це єдині відомі симетрії простору і часу, то ці сім величин є вичерпним переліком адитивних інтегралів руху в механічних системах (існують інші закони збереження, наприклад, закон збереження електричного заряду, але вони пов'язані з симетріями взаємодій а не самого простору-часу).
Для деяких систем існують специфічні константи руху, важливі для конкретної системи. Наприклад, для небесної механіки такою величиною є вектор Лапласа — Рунге — Ленца.
Необхідна і достатня умова того що деяка функція f є інтегралом руху наступна:
де H — функція Гамільтона (енергія, виражена як функція від узагальнених координат та імпульсів), а — дужки Пуассона.
Похідні руху Якщо записати рівняння зміни положення тіла (радіус-вектору) в залежності від часу
то (якщо функція є диференційовною відповідну кількість разів) можна взяти похідні від цієї функції по часу
Такі похідні можуть бути дуже корисними для опису руху. Всі вони є векторними величинами, як і сам радіус-вектор. Для більшості рівнянь руху можна взяти нескінченну кількість таких похідних, але найбільшу цінність мають лише перші. Для рівномірного прямолінійного руху усі похідні крім першої дорівнюють нулю. Для рівноприскореного прямолінійного — усі крім першої і другої. Для гармонічних коливань друга похідна збігається з початковим рівнянням для радіус-вектора, з точністю до від'ємного коефіцієнта. Те саме стосується рівномірного руху по колу (яке є сумою двох гармонічних коливань вздовж двох осей).
Швидкість
Перша похідна руху по часу є найбільш важливою кількісною мірою руху. Одиниця виміру швидкості — метри за секунду. Швидкість тіла зберігається, якщо на тіло не діють інші сили. Швидкість тіл обмежена — швидкість світла є максимально можливим значенням. При наближенні до швидкості світла спостерігаються специфічні ефекти — сповільнення часу і зменшення повздовжних розмірів тіл. Швидкості при яких такі зміни стають помітними називають релятивістськими. Через важливість цього значення, в деяких розділах фізики використовується природна система одиниць, де швидкість є безрозмірною величиною, такою що швидкість світла дорівнює 1.
Іноді під швидкістю мається на увазі середня швидкість — відстань пройдена тілом за деякий час, поділена на цей же час, іноді ж — миттєва швидкість, яка є лімітом середньої швидкості якщо період часу за який здійснюються вимірювання прямує до нуля. Тобто, миттєва швидкість є похідною від положення.
Кілька пов'язані зі швидкістю, в першу чергу — імпульс (маса помножена на швидкість). Кінетична енергія (зберігається при абсолютно пружних ударах) дорівнює половині добутку маси і квадрата швидкості.
Швидкість тіла, як і координати тіла, є відносною величиною, і завжди рахується в деякій системі відліку. Всі системи відліку, які рухаються рівномірно і прямолінійно (інерційні системи відліку) є рівноцінними згідно спеціальної теорії відносності — фізичні закони в них діють однаково.
Щоб перетворити рівняння руху в одній інерційній системі відліку в рівняння руху в іншій, застосовуються перетворення Лоренца. Перетворення Лоренца є, з математичної точки зору, обертанням у чотиривимірному просторі-часі (через те що простір-час є простором Мінковського, обертання в ньому дещо відрізняється від обертання у звичайному евклідовому просторі). Можна ввести 4-вектор який узагальнює концепцію швидкості для простору-часу (4-швидкість). В такому випадку можна сказати, що всі тіла рухаються з однаковою за модулем, але різною за напрямком 4-швидкістю. У випадку «нерухомого» тіла 4-швидкість повністю напрямлена вздовж осі часу.
У випадку нерелятивістських об'єктів, перетворення Лоренца можуть бути замінені перетвореннями Галілея, які є значно простішими.
Рівномірний прямолінійний рух Одним з найпростіших видів руху є рівномірний прямолінійний рух, тобто рух з постійною швидкістю. У цьому випадку рівняння руху має вигляд:
Пройдений шлях при цьому дорівнює .