Багатокра́тний інтегра́л це визначений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, або . Інтеграли функцій двох змінних в області називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення — потрійними інтегралами:
подвійний інтеграл:
потрійний інтеграл:
Визначення Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає площу області між графіком функції й віссю , подвійний інтеграл додатної функції двох змінних визначає об'єм області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній системі декартових координат, де ) і площиною, що задає її область визначення. Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати гіпероб'єм багатовимірної функції.
Багатократний інтеграл функції із змінними: по області зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтеграла у зворотному порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (крайній правий інтеграл буде розраховуватися в першу чергу). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтеграла або, або в скороченій формі задається змінною біля інтеграла, що знаходиться праворуч від усіх:
Геометрична інтерпретація
Нехай функція приймає в області тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл чисельно дорівнює об'єму вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні .
Математичне визначення Для , розглянемо так звану "пів-відкриту" -вимірну гіперпрямокутну область значень , визначену наступним чином:
Розіб'ємо кожен інтервал на скінченну послідовність підінтервалів , що не перекриваються , де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.
Скінченна кількість підпрямокутників буде визначатися наступним чином
і є розбиттям області ; таке що, підпрямокутники не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати .
Нехай є функцією визначеною в області . Розглянемо розбиття області описане вище, так що є сімейством із підпрямокутниками і
Ми можемо апроксимувати загальний -вимірний об'єм, що обмежує собою -вимірний гіперпрямокутник і зверху обмежений -вимірним графіком функції за допомогою наступної суми Рімана:
де це точка в і є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює .
Діаметр підпрямокутника буде дорівнювати найбільшій довжині інтервалу декартовим добутком якого є . Діаметр даного розбиття визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників стає більшою, а міра для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію називають такою, що має Ріманів інтеграл якщо існує границя
де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття із діаметром .
Якщо інтегрована за Ріманом, то називають Рімановим інтегралом функції по області і позначається наступним чином
Часто цей запис скорочують до наступного вигляду
де позначає -кортеж і позначає -вимірний об'ємний диференціал.
Властивості Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтеграла є те, що значення інтеграла не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як Теорема Фубіні.
Методи інтегрування Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні способу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для неперервних функцій, це підтверджується Теоремою Фубіні. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.
Далі наведені найпростіші методи інтегрування:
Інтегрування константної функції Якщо під інтегралом знаходиться константна функція , інтеграл буде дорівнювати добутку на вимір області інтегрування. Якщо , а область є частиною області , тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною , тоді інтеграл повертає об'єм.
Наприклад. Нехай і
в такому випадку
,
оскільки із визначення ми маємо наступне:
Використання симетрії Якщо область інтегрування симетрична відносно початку координат по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є парною по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.
Приклад 1. Розглянемо функцію що інтегрується по області
диск із радіусом 1 має центр в початку координат, із включеною межею.
Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:
Функція є парною функцією для змінної а диск є симетричним відносно осі , тому значення першого інтеграла дорівнює 0. Аналогічно, функція є парною функцією для , а симетрична відносно осі , і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5.
Приклад 2. розглянемо функцію , оскільки область інтегрування є сферою із радіусом 2 із центром у початку координат,
"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.
Заміна змінних
Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або через складну формулу інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.
Приклад 1a. Функція дорівнює ; якщо застосувати заміну , так що , буде одержана нова функція . Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні ( і , які були перетворені вище в прикладі). диференціали і трансформуються за допомогою абсолютного значення детермінанта матриці Якобі, що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).
Існує три основні "види" заміни змінних (один для , два для ); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.
Полярні координати
Для якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати трансформування в полярні координати (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в полярній системі координат. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.
Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:
Приклад 2a. Функцією є , застосувавши перетворення отримаємо
Приклад 2b. Функцією є , в такому випадку маємо:
використовуючи тригонометричну тотожність Піфагора.
Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів від початкових .
Приклад 2c. Область задається як , це коло радіусом 2; очевидно, що воно охоплює повний кут кола, тому змінюється від 0 до 2, в той час як радіус змінюється від 0 до 2.
Приклад 2d. Область задається як , це кругла дуга в додатній відносно осі півплощині (див. малюнок); описує площину із зміною кута в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде таким прямокутником:
Детермінант матриці Якобі для такого перетворення буде таким:
який було отримано відповідно до часткових похідних для , в першому стовбці відповідно до і в другому стовпці відповідно до , так що диференціали в цьому перетворенні стали замінені на .
Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:
є дійсним для інтервалу в той час як , що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.
Приклад 2e. Функцією є а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для ми вже знаємо інтервали для (з 2 до 3) і для (з 0 до ). Тепер ми змінюємо функцію:
нарешті, застосуємо формулу інтегрування:
Оскільки інтервали відомі, матимемо
Циліндричні координати
В інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою переходу до циліндричних координат; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:
Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.
Приклад 3a. Регіоном є (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:
(це буде паралелепіпед, основа якого подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).
Оскільки компонент не змінюється під час перетворення, диференціали змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на .
Врешті-решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:
Цей метод зручно застосовувати у випадку, коли області є циліндричними або конічними або для областей, де легко виділити інтервал z і перетворити круглу основу і функцію.
Приклад 3b. Функція задана як а область інтегрування є циліндром: . Перетворення в циліндричні координати є наступним:
а функція перетворюється на
Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:
продовжуючи перетворення формули отримаємо
Сферичні координати
В деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися переходом до сферичної системи координат; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:
Точки на осі не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому може змінюватися між значеннями 0 і 2.
Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.
Приклад 4a. Область задана як (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область
Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:
Диференціали таким чином перетворюються на .
Це приводить до остаточної формули інтегрування:
Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична і коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).
Додаткові і взяті із Якобіана.
В наступних прикладах ролі і були замінені навпаки.
Приклад 4b. є такою ж областю як і в прикладі 4a, а є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:
ми знаємо інтервали перетвореної області із :
Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:
і з цього ми отримаємо
Приклад 4c. Область це шар із центром в початку координат і радіусом ,
а - функція інтегрування.
Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область є очевидними:
Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо
.
Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:
що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для будуть наступними
інтервал було отримано за допомогою розділення кулі на дві напівсфери шляхом вирішення нерівності із формули для (і виконавши пряме перетворення у ). Нова функція тоді буде простою . Застосовуючи формулу інтегрування
.
Тоді ми отримаємо