Пара́бола (від ) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.
Точка зветься фокусом, а пряма — директрисою.
Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені розповсюджуватимуться паралельно.
Графік функції, котрий будують за допомогою полінома другого степеня від однієї змінної є параболою.
Історія
Першим та відомим дослідженням конічних перерізів є праця Менехма у четвертому столітті до н. е. Він знайшов спосіб вирішити задачу подвоєння куба за допомогою використання парабол, проте це рішення не відповідало вимогам побудови за допомогою циркуля і лінійки. Площа, обмежена параболою і лінійним відрізком, так званий «параболічний сегмент», була розрахована Архімедом за допомогою метода вичерпування в третьому столітті до н. е., і описана ним у роботі «Квадратура параболи». Назва «парабола» виникла завдяки Аполлонію, який дослідив багато властивостей конічних перерізів. Термін «парабола» означає «прикладання», що посилається на концепцію «прикладання або зіставлення площ», що має відношення і до цієї кривої, як довів Аполлоній. Властивість фокуса і директриси параболи та інших конічних перерізів знайшов Папп Александрійський.
Галілео показав, що снаряд падає по параболічній траєкторії, що є наслідком постійного прискорення через дію сили тяжіння.
Ідея, що за допомогою параболічного рефлектора можна утворити зображення, була відома задовго до винайдення першого рефлекторного телескопа. Extract of page 3 Відомі математики, такі як Рене Декарт, Марен Мерсенн,Stargazer, p. 115. і Джеймс Грегорі,Stargazer, pp. 123 and 132 запропонували дизайн ще на початку і в середині сімнадцятого століття. Коли Ісаак Ньютон в 1668 побудував перший рефлекторний телескоп, він не став використовувати параболічне дзеркало через складність його виготовлення та обрав оптимальним сферичне дзеркало. Параболічні дзеркала використовуються у більшості сучасних рефлекторних телескопах, а також у супутникових тарілках і радіолокаторах.
Визначення параболи як геометричного місця точок
Параболу можна визначити геометрично як множину точок (геометричне місце точок) в Евклідовому просторі:
Парабола це множина точок, таких, що для будь-якої точкиt в множині відстань до фіксованої точки , фокусу, дорівнює відстані до фіксованої прямої , директриси:
Середня точка утворена перпендикуляром із фокусу до директриси називається вершиною, а пряма віссю симетрії параболи.
Рівняння
Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат: (або , якщо поміняти місцями осі).
ВисновокРівняння директриси : , фокус — , таким чином початок координат — середина відрізу . За означенням параболи для будь-якої точки , що лежить на ній виконується рівність . і , тоді рівність приймає вигляд: . Після підняття в квадрат і деяких перетворень виходить рівносильне рівняння .
Квадратне рівняння при також являє собою параболу і графічно теж її зображують тією ж параболою, що і , але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці , координати якої обчислюють за формулами:
Рівняння може бути представлено у вигляді , а у випадку переносу початку координат в точку канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.
Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка , , , то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:
Властивості
Парабола — крива другого порядку. Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі. Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів. Для параболи фокус розміщений у точці (0,25; 0). Якщо фокус параболи дзеркально відобразити щодо дотичної, то його образ буде лежати на директрисі. Парабола є антиподерою прямій. Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб. При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд. Еволютою параболи є напівкубічна парабола.
Побудова Параболу y=ax2+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок):
Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 — роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.
Обчислити координати вершини параболи x0= -b/2a і y0=y(x0)
Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x0
Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну
Розв'язати квадратне рівняння ax2+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x1;0) (x2;0)
Через відмічені п'ять точок провести параболу.
Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.
Властивості дотичних
Дві властивості пов'язані з фокальним параметром Нехай лінія симетрії перетинає параболу в точці Q, точку фокуса позначимо як F а відстань від неї до точки Q позначимо як . Нехай перпендикуляр до лінії симетрії, що проходить крізь фокус, перетинає параболу в точці T. Тоді (1) відстань від F до T дорівнює , а (2) дотична до параболи в точці T перетинає лінію симетрії під кутом 45°.
Ортоптична властивість Якщо дві дотичні параболи перпендикулярні одна одній, тоді вони перетинаються в точці на директрисі. І навпаки, дві дотичні, що перетинаються на директрисі — перпендикулярні.
Теорема Ламберта Нехай три дотичні до параболи утворюють трикутник. Тоді теорема Ламберта стверджує, що фокус параболи знаходиться на колі, що описує трикутник.
Побудова дотичної Дотична до параболи в точці проходить через цю точку та точку .
Парабола у декартовій системі координат
Вісь симетрії параболи паралельна осі y
Якщо обрати декартові координати таким чином, що і деректриса матиме рівняння отримаємо точку із що задає рівняння . Розв'язавши його для отримаємо .
Парабола має U-подібну форму (відкриту до гори).
Довжина горизонтальної хорди, що проходить через точку фокусу (див. малюнок) називається фокусним параметром, половина якого є половиною фокусного параметра що позначається як . Із зображення отримаємо .
Фокусний параметр визначається аналогічним чином для еліпса і гіперболи. Для параболи це відстань від фокусу до директриси. Використовуючи параметр , рівняння параболи можна записати наступним чином
.
У більш загальному випадку, якщо вершина дорівнює , фокус і директриса має рівняння отримаємо рівняння .
Зауваження: У випадку коли парабола відкрита вниз. Припущення, що вісь симетрії паралельна осі y дозволяє розглядати параболу у вигляді графіку полінома із степенем 2 і навпаки: Графіком довільного полінома із степенем 2 є парабола. Якщо замінити місцями і , отримаємо рівняння парабол, в яких відкрита частина направлена ліворуч (якщо ) або праворуч (якщо ).
Загальний випадок Якщо фокус дорівнює а директриса отримаємо наступне рівняння
(В лівій частині рівняння для розрахунку відстані використана для прямої.)
неявне рівняння параболи визначено незвідним багаточленом із степенем два
Парабола як графік функції
Будь-яку параболу із вершиною у початку координат і віссю , що є віссю симетрії параболи можна розглянути у вигляді графіку функції .
Для направлено відкритою частиною в гору, а при відкрита вниз. Із попередніх розділів отримуємо:
Фокус це , фокусна відстань — , фокальний параметр дорівнює , вершина це , директриса має рівняння , дотична в точці має рівняння ,
Для парабола є одиничною параболою і задається рівнянням . Її фокусом є , фокальним параметр дорівнює і директриса має рівняння .
Загальний вигляд рівняння функції із степенем 2 буде наступним . Доповнюючи до повного квадрата, отримаємо , що є рівнянням параболі із
віссю (паралельною осі y), фокусною відстанню , і фокальним параметром , вершиною , фокусом , директрисою , точкою, в якій парабола перетинає вісь y матиме координати , дотична в точці на осі y матиме рівняння .
Парабола як особливий випадок конічного перерізу
Родину конічних перерізів в яких вісь x є віссю симетрії, одна вершина знаходиться в початку координат (0,0) і які мають однакове значення половини фокусного параметра можна задати наступним рівнянням , де задає Ексцентриситет. При конічним перерізом є коло, При — еліпс, При — парабола із рівнянням і При буде отримана гіпербола (див. малюнок).
Парабола в полярних координатах
Якщо , парабола із рівнянням (із відкритою частиною направленою праворуч) матиме полярні координати наступного вигляду:
(.)
Її вершина матиме координати а фокус буде заданий як .
Якщо в початок координат розмістити фокус, тобто, , отримаємо рівняння
Зауваження 1: Шляхом інвертування цієї полярної форми можна показати: що парабола це обернена до кардіоїди.
Зауваження 2: Друга форма полярних координат є особливим випадком із родини конічних перерізів із фокусом (див. зображення): , (: ексцентриситет).
Властивість відбивання променів
Рефлективна властивість параболи означає що, якщо парабола може відбивати промені світла, тоді те світло, що потрапляє на неї і проходить паралельно осі симетрії відбивається в її точку фокуса. Цей висновок можна отримати із хвильової природи світла. Він правильний, але таке обґрунтування може бути недостатнім, аби бути математичним доказом. В наведеному далі доказі, факт, що кожна точка параболи є рівновіддаленою від фокусу і директриси приймається як аксіома.
Розглянемо параболу . Оскільки всі параболи подібні, цей простий випадок відповідатиме усім іншим. Діаграма праворуч показує частину такої параболи.
Побудова і визначення
Точка E є довільною точкою на параболі, із координатами . Фокус позначено як F, а вершину параболи як A (знаходиться у початку координат), а пряма (вісь ) є віссю симетрії. Пряма паралельна осі симетрії, і перетинає вісь в точці D. Точка C розміщена на директрисі (яка не показана, аби спростити діаграму). Точка B є серединою лінійного відрізку .
Дедукція
Якщо вимірювати здовж осі симетрії, вершина A є рівновіддаленою від фокусу F і від директриси. Відповідно до теореми Фалеса про пропорційні відрізки, оскільки C знаходиться на директрисі, -координати точки F і C є рівними за абсолютним значенням але мають протилежний знак. B є середньою точкою відрізку FC, тому її -координата дорівнює нулю, тому вона знаходиться на осі . Її -координата є половиною від значення координати точок E, D, і C, тобто, . Кутовий коефіцієнт прямого відрізку задається довжинами відрізків і , і становить , що зводиться до значення . Але є також кутових коефіцієнтом (першою похідною) параболи в точці E. Тому, пряма є дотичною до параболи в точці E.