Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю , що .

Можна також записати ,

де — символ Кронекера.

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:

Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі. В матриці власними значеннями є з власними векторами . Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Застосування Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження: відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

Див. також Теорія матриць Спектральна теорема Сингулярний розклад матриці Нормальна матриця Унітарна матриця

Джерела