В теорії ймовірностей і математичній статистиці, розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві.
Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів, густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші.
Визначення
Густина імовірності розподілу Леві на множині визначається
де — параметр розміщення, — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:
де — доповнююча функція помилок. Параметр зміщує криву вправо на відстань , змінюючи носій функції на множину [, ). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:
де y визначено як
Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:
Для , the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:
Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:
і розбігається для і, відповідно, теж не є визначеною.
Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:
Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при показані в логарифмічному масштабі:
Пов'язані розподіли Якщо тоді Якщо тоді (обернений гамма-розподіл) Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5. Якщо (нормальний розподіл) тоді Якщо тоді Якщо тоді (Стійкий розподіл) Якщо тоді (Масштабований обернений розподіл хі-квадрат)
Див. також Політ Леві Посилання Особливо An introduction to stable distributions, Chapter 1