Стара́ ква́нтова тео́рія (іноді стара́ ква́нтова меха́ніка) — підхід до опису атомних явищ, що був розвинутий у 1900—1924 роках і передував квантовій механіці. Характерна риса теорії — використання класичної механіки та деяких припущень, що суперечили їй. Основою старої квантової теорії була модель атома Бора, до якої пізніше Арнольд Зоммерфельд додав квантування z-компоненти кутового моменту, яке невдало назвали просторовим квантуванням. Квантування z-компоненти дало змогу ввести еліптичні електронні орбіти й запропонувати ідею енергетичного виродження. Успіхом старої квантової теорії був коректний опис атома водню та нормального ефекту Зеемана.
Основний інструмент старої квантової теорії — квантування Бора — Зоммерфельда, процедура, що формує деякий дискретний набір станів інтегровного руху класичної системи й визначає їх як дозволені стани цієї системи, аналогічно до дозволених орбіт у моделі Бора. Система може перебувати лише в цих станах і в жодних інших. Ця теорія неспроможна описувати хаотичний рух, оскільки вимагає повної замкненості траєкторій руху класичної системи.
Історія
Точкою відліку старої квантової теорії (і квантової механіки взагалі) вважається поява робіт Макса Планка з випромінювання та поглинання світла на самому початку XX століття (рос. переклад: ) (рос. переклад: ). Безпосередня розробка квантової теорії почалася з впровадженням Ейнштейном квантової моделі теплоємності твердого тіла. У моделі Ейнштейна вважається, що кожен атом у ґратці є незалежним квантованим гармонічним осцилятором, що дає можливість пояснити поряд із класичним законом Дюлонга — Пті за високих температур падіння теплоємності за низьких. У такий спосіб квантові принципи були поширені на рух атомів. Пізніше Дебай вдосконалив цю модель.
У 1913 році Нільс Бор використав міркування, які він згодом сформулював як принцип відповідності, й розробив модель атома водню, що могла пояснити його дискретний спектр, сформулювавши два відомих постулати. Пізніше Арнольд Зоммерфельд розвинув ідеї Бора, поширивши його модель на довільні інтегровні системи, використовуючи принцип адіабатичної інваріантності квантових чисел. Модель Зоммерфельда була значно ближчою до сучасної квантової механіки, ніж модель Бора.
Протягом 1910-х та на початку 1920-х років за допомоги старої квантової теорії було успішно розв'язано багато задач. Стала зрозумілою природа коливальних і обертальних спектрів молекул, відкритий спін електрона, що пояснило існування напівцілих квантових чисел. Планк увів нульові коливання, Зоммерфельд успішно застосував модель Бора до релятивістського атома водню, а Гендрік Крамерс пояснив ефект Штарка. Бозе та Ейнштейн запропонували квантову статистику для фотонів.
Крамерс запропонував метод розрахунку ймовірностей переходу між квантовими станами з використанням фур'є-компонент руху, який він разом із Вернером Гейзенбергом розвинув пізніше у матричне напівкласичне зображення ймовірностей переходу. Потім на основі цих ідей Гейзенберг побудував матричну механіку — формулювання квантової механіки на основі матриць переходу.
У 1924 році Луї де Бройль розробив хвильову теорію матерії, яку трохи пізніше розвинув Ейнштейн, вивівши напівкласичне рівняння для хвиль матерії. У 1926 році Ервін Шредінгер запропонував квантовомеханічне хвильове рівняння, що дало змогу зібрати докупи всі результати старої квантової теорії без будь-яких неузгодженостей. Хвильова механіка Шредінгера розвивалася незалежно від матричної механіки Гейзенберга, але в експериментах було видно, що обидва методи передбачають однакові результати. Поль Дірак у 1926 році показав, що обидві картини є еквівалентними і витікають із більш загального методу — теорії представлень (рос. переклад: ).
Поява матричної та хвильової механіки ознаменували кінець старої квантової теорії.
Основні принципи Основною ідеєю старої квантової теорії є те, що рух атомної системи є квантованим (дискретним). Система підкоряється законам класичної механіки за єдиним винятком: не всі рухи системи дозволені, а лише ті, що відповідають такому правилу: ,
де — канонічні імпульси, — спряжені до них координати, — квантові числа, що є цілими. Інтеграл береться за замкненою траєкторією руху, що відповідає постійній енергії (яка описується функцією Гамільтона ). Крім того, інтеграл є площею в фазовому просторі, яка відповідає класичній дії. Але дія є квантованою в одиницях сталої Планка, тому часто сталу Планка називають квантом дії.
Щоб умова квантування мала сенс, класичний рух має відокремлюватися, тобто мають існувати координати такі, що рух у таких координатах буде періодичним. Стара квантова теорія підкорюється принципові відповідності, який оснований на тих спостереженнях, що величини, які квантуються, мають бути адіабатичними інваріантами.
Експериментальна база
Випромінювання абсолютно чорного тіла
Однією з головних задач фізики кінця XIX століття була проблема випромінювання абсолютно чорного тіла. Абсолютно чорне тіло — це фізична ідеалізація; тіло, що повністю поглинає падаюче випромінювання будь-яких довжин хвиль. Найбільш чорні реальні речовини, наприклад, сажа, поглинають до 99 % падаючого випромінювання у видимому діапазоні довжин хвиль, однак інфрачервоне випромінювання поглинається ними значно гірше. Серед тіл Сонячної системи абсолютно чорному тілу найбільш відповідає Сонце.
За класичною термодинамікою спектральна інтенсивність випромінювання має бути однаковою для будь-яких абсолютно чорних тіл, нагрітих до однакової температури. Таке передбачення підтверджується експериментом. Спектральна інтенсивність досягає максимуму за деякої частоти , а з обидвох боків від максимуму падає до нуля. Частота максимуму , як і його висота, збільшується з температурою.
Спроби теоретично передбачити форму експериментальної кривої спектральної інтенсивності абсолютно чорного тіла на основі законів класичної фізики привели до формули Релея — Джинса:
.
Окрім області малих частот, закон формули Релея — Джинса не узгоджується з експериментом. Він передбачає, що повна інтенсивність випроміненої енергії безмежно зростає (ультрафіолетова катастрофа), але насправді повна інтенсивність скінченна.
У 1900 році Макс Планк постулював (рос. переклад: ), що обмін енергією між атомами й випущеним ними електромагнітним випромінюванням відбувається дискретними порціями енергії, а найменша порція енергії при заданій частоті дорівнює:
,
де — константа Планка. Тільки цілі кратні енергії можуть передаватися при взаємодії атомів і випромінювання. Використовуючи цей постулат, Планк вивів формулу для спектральної інтенсивності теплового рівноважного електромагнітного випромінювання абсолютно чорного тіла:
,
що прекрасно узгоджується з експериментом. Таким чином, Планк розв'язав проблему випромінювання абсолютно чорного тіла, використовуючи суперечну класичній фізиці ідею про квантування енергії.
Фотоефект
Фотоефект — явище випромінювання речовиною електронів під дією світла (і, загалом кажучи, будь-якого електромагнітного випромінювання). Перші систематичні дослідження фотоефекту виконав російський фізик Столєтов 1888 року, встановивши декілька важливих закономірностей. Ключовим моментом виявився той факт, що енергія фотоелектронів абсолютно не залежить від інтенсивності падаючого світла: підвищення інтенсивності лише збільшує число електронів, але не їхню швидкість. Проте виявилося, що швидкість електронів залежить від частоти випромінювання, причому зі збільшенням частоти енергія фотоелектронів підвищується лінійно. Такі явища були незрозумілими з позиції класичної електродинаміки.
Теоретичне пояснення фотоефекту дав Альберт Ейнштейн у 1905 році. Використовуючи гіпотезу Планка, він припустив, що світло не тільки випромінюється порціями (квантами), а й взагалі являє собою потік квантів (фотонів) з енергією . При фотоефекті частина падаючого світла відбивається від поверхні, а інша частина проникає всередину поверхневого шару металу й поглинається там. Коли електрон поглинає фотон, він отримує від нього енергію і, здійснюючи роботу виходу , покидає метал. Отож маємо рівняння Ейнштейна для фотоефекту:
,
де — енергія іонізації (яку можна вважати для металів рівною нулю, оскільки метал має велику кількість вільних електронів), — кінетична енергія фотоелектрона.
Отже, явище фотоефекту є експериментальним підтвердженням гіпотези Планка та наявності у світла корпускулярних властивостей.
Дослід Франка — Герца
Експеримент із непружного розсіяння електронів на атомах був поставлений у 1913—1914 роках Джеймсом Франком та Густавом Людвигом Герцом. Він підтвердив справедливість постулатів Бора.
У цьому досліді атоми або молекули більш-менш розрідженого газу бомбардуються повільними електронами. При цьому досліджується розподіл швидкостей до й після зіткнень. Якщо зіткнення пружні, то розподіл швидкостей не змінюється, і навпаки, у випадку непружних зіткнень частина електронів втрачає свою енергію, віддаючи її атомам, з якими вони зазнали зіткнень, тож розподіл швидкостей змінюється.
У результаті досліду Франка — Герца виявилося, що: при швидкостях електронів, що менші за деяку критичну швидкість, зіткнення є цілком пружним, тобто електрон не передає атому свою енергію, але відскакує від нього, змінюючи лише напрям своєї швидкості; при швидкостях, що досягають критичної швидкості, удар є непружним, тобто електрон втрачає свою енергію і передає її атому, який при цьому переходить до іншого стаціонарного стану, що характеризується більшою енергією.
Приклади застосування
Теплові властивості гармонічного осцилятора Гармонічний осцилятор — найпростіша система старої квантової теорії. Запишемо гамільтоніан: .
Енергетичні рівні системи визначаються орбітами руху, а орбіти відбираються за тим квантовим правилом, що площа в фазовому просторі, яку покриває кожна орбіта, має бути цілою. Звідси випливає, що енергія квантується за правилом Планка: ,
відомий результат, за яким формулюється правило квантування старої квантової теорії. Слід зазначити, що цей результат відрізняється від справжнього на , оскільки з квантової механіки відомо, що нульовий рівень для гармонічного осцилятора має енергію .
Термодинамічні величини для квантованого гармонічного осцилятора можна визначити за допомогою усереднення енергії в кожному з дискретних станів: , де — константа Больцмана, — абсолютна температура, яка вимірюється у природніших енергетичних одиницях, — статистична сума. Легко бачити, що при дуже низьких температурах (тобто, величина є великою) середня енергія гармонічна енергія гармонічного осцилятора дуже швидко досягає нуля — експоненціально. Причина полягає в тому, що є характерною енергією довільного руху за температури , і, якщо вона є меншою за , її не вистачає для того, щоб передати осцилятору хоча б один квант енергії. Тож гармонічний осцилятор залишається в основному стані.
Це означає, що за дуже низьких температур зміна енергії відносно (і, зрозуміло, температури) є малою. Зміна енергії відносно температури є теплоємністю, тож теплоємність є малою за низьких температур, прямуючи до нуля як .
За високих температур (тобто при малих ) середня енергія дорівнює . Цей факт узгоджується із законом рівнорозподілу класичної термодинаміки: кожний гармонічний осцилятор за температури має середню енергію . Це означає, що теплоємність осцилятора постійна (в класичній механіці) й дорівнює константі Больцмана . Для сукупності атомів, що з'єднані пружинами (прийнятна модель твердого тіла), повна теплоємність дорівнює , де — кількість осциляторів. Загалом кожному атомові зіставляють три осцилятори, враховуючи три можливі напрямки осциляцій у трьох вимірах. Тому теплоємність класичного твердого тіла дорівнює на атом або на моль.