Результат про властивості класів неперервних відображень, що діють на лінійних топологічних просторах.
Покладаємо, що і є топологічними векторними просторами; — набір неперервних лінійних відображень із у , а — множина усіх , що їх орбіти обмежені у . Якщо тепер є множиною другої категорії=не є множиною першої категорії; інша назва — простір Бера у , то і — рівномірно неперернатобто, для кожного околу нуля знайдеться окіл нуля , для якого . Рівносильно обмеженості у рівномірній топології.Rudin W., Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc. 1973 — p.43 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Banach-Steinhaus_theorem.
Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках: Нехай, і — повні метричні простори, — набір неперервних лінійних відображень; також, . Тоді .
Простір у точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в . У принципі рівномірної обмеженості простори можна вважати локально опуклимиТобто, в них будь-який окіл нуля містить опуклий окіл нуля. за умови — бочковий простірbarrelled space. Вкажемо тут означення бочкового простору. Множина — збалансована, якщо (поелементне множення на скаляр); збалансована множина є поглинаючою, якщо . Тепер бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.
Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії.
Див. також Множина першої категорії Теорема Банаха про обернений оператор Стефан Банах Гуго Штейнгауз Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха
Примітки
[
[Категорія:Теореми функціонального аналізу]]