Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою , тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких і скалярів виконуються умови:
Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:
Пов'язані означення
Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:
Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S). Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею. Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени. Два вектора називаються косоортогональними, якщо
Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі. Косоортогональним доповненням підпростору називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з .
Приклади На просторі із базисом позначеним як існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як
Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд , де — одинична матриця порядку n. Якщо вектори у цьому базисі записати через координати то симплектична форма через координати записується як:
або у векторно-матричній формі:
Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору для поля характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці (тобто ). Тоді для базису симплектичну форму можна задати на базисних векторах як Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:
У комплексному просторі можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою
де — ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі розглянутому як дійсний простір . Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі задані комплексна структура (тобто лінійний ізоморфізм для якого або для всіх ) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі для якого додатково для всіх , то форма є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:
Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового для скалярного добутку g значення . Оскільки є ізоморфізмом, то є ненульовим вектором і Навпаки для скінченновимірного дійсного простору із симплектичною формою існують комплексна структура і ермітова структура для яких . Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу , як у розділі нижче і ввести на базисних векторах і , а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:
Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі , де — простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору і , де , а симплектична форма задається як:
Канонічна структура
Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.
Справді ввівши деякий базис білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці для якої Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що , а невиродженість, що Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми отже форма є виродженою.
Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор . Оскільки є невиродженою формою, то існує такий вектор , що
Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів і . Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис ,
для якого
де — символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору із симплектичною формою із першого прикладу.
У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду
де — одинична матриця порядку n. є симплектичною матрицею.
Будова підпросторів
Розглянемо підпростір і його косоортогональне доповнення . Із невироджені випливає, що:
Крім того,
У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:
Симплектичні: . Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
Ізотропні: . Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд . Коізотропні: . W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли є невирожденою на фактор-просторі . Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
Лагранжеві: . W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном . Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи по ортогональній підгрупі , при цьому
Узгоджені комплексні структури Нехай є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою . Комплексна структура називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:
для всіх виконується рівність білінійна форма є скалярним добутком.
Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток і ввести лінійні відображення задані як і Оскільки і є невиродженими білінійними формами, то є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм заданий як За означенням тоді
Відображення A є кососиметричним адже для всіх Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця є симетричною і додатноозначеною оскільки для всіх
Позначимо і . Тоді є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також і відповідно Також тобто визначає комплексну структуру і тобто є ортогональною матрицею тобто для всіх
Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:
Також якщо ввести білінійну форму
то з додатноозначеності матриці випливає, що є скалярним добутком і відповідно задає узгоджену комплексну структуру.
Див. також Симплектична геометрія Симплектична група Симплектична матриця Симплектична форма Симплектичний базис Симплектичний многовид
Література